Метафизика опыта. Книга II. Позитивная наука
Шедворт Ходжсон
Ходжсон утверждает, что сознание как знание – единственное свидетельство, которое у нас есть, не только о самом сознании во всех его проявлениях, но и о природе и существовании всего остального. Хотя необоснованно полагать, что все сущее должно с необходимостью состоять из сознания, все же содержание знания состоит из сознания, его esse есть percipi, что означает «существовать – значит быть воспринимаемым».
Метафизика опыта
Книга II. Позитивная наука
Шедворт Ходжсон
Переводчик Валерий Алексеевич Антонов
© Шедворт Ходжсон, 2024
© Валерий Алексеевич Антонов, перевод, 2024
ISBN 978-5-0064-2422-7 (т. 2)
ISBN 978-5-0064-2252-0
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
«Метафизика опыта» Ходжсона
Шедворд Холлвей Ходжсон родился в Бостоне, в Линкольншире, 25 декабря 1832 года, получил образование в Рагби и в Колледже Корпус-Кристи, Оксфорд. Прожив более полувека в тихой созерцательной жизни ученого в самом сердце оживленного мегаполиса, он с достаточной убедительностью показал, что, пока вокруг царит непрекращающаяся суматоха коммерческого предпринимательства, работа размышляющей мысли еще может быть выполнена. В глубине его сдержанной и сурово умственной натуры скрывалось сердце, исполненное искренней нежности и глубоких чувств. Об этом свидетельствует даже его преданность любимому занятию. Он не занимал должности университетского преподавателя и никогда не стремился к ней. Его призвание к умозрительному исследованию пришло другим путем. Размышляя о Беатриче как о человеке, объективно исполняющем в схеме мироздания ту функцию, которую она выполняла в его собственном сознательном опыте, Данте был склонен рассматривать ее как символ и проводник философии, так же как Вергилий был для него типом или символом человеческой добродетели. Сам Ходжсон, несомненно, отказался бы от сравнения своей жизни с жизнью одного из величайших поэтов всех времен, но для других средневековый идеал не может не стать примером его воплощения. Женившись в 1855 году на дочери преподобного Э. Б. Эверарда, ректора Бернэм-Торп, в графстве Норфолк, он через три года столкнулся с самым страшным горем, которое только может постигнуть человека, – смертью жены и ребенка. Удалившись затем почти полностью от общества, он с необыкновенным рвением и серьезностью посвятил себя поискам философской истины и сделал это единственной целью своего уединенного существования. Истина, – говорил он эдинбургским студентам двадцать лет спустя, – подобна шекспировской Порции[1 - Порция важный персонаж пьесы Уильяма Шекспира «Венецианский купец»], не слушающей ни одного поклонника, пока он не докажет свою искренность, избрав свинцовый ларец со словами: «Кто выберет меня, должен пожертвовать и рискнуть всем, что у него есть». Это, добавил он, и есть истинный нрав настоящей любви, и именно с таким настроем мы должны подходить к философии».
Серия работ, все из которых переплетены в белый бакрам и написаны в стиле, характерном для автора, осталась как плод его одинокого труда. Книга «Время и пространство: Метафизическое эссе» появилось в 1865 году; «Теория практики» (посвященная «mortuis meis»), 2 тома, в 1870 году; «Философия рефлексии», 2 тома, в 1878 году; и, наконец, в 1898 году четыре тома «Метафизики опыта», содержащие наиболее полное и зрелое изложение его философии. В 1880 году, во многом благодаря его усилиям, было основано Аристотелевское общество. Он стал его первым президентом и оставался на этом посту до 1894 года. Каждый год он открывал заседание президентской речью, и эти речи, всего четырнадцать, составляли, по его словам, своего рода набросок или программу «его последней великой книги, но они по-прежнему сохраняют интерес и ценность сами по себе». И после того, как он перестал быть президентом, он предоставил Обществу множество важных статей, регулярно посещал его собрания и всегда участвовал в дебатах, обычно приводя с собой друзей в свои комнаты на Кондуит-стрит, где дискуссии затягивались до полуночи. Он был одним из тех сторонников, которых Крюм Робертсон собрал вокруг себя в связи с учреждением журнала Mind в 1876 году, и в первом номере была опубликована статья из его пера. Он часто писал для этого и других журналах. В «Трудах Британской академии» есть три его статьи, последняя из которых «Некоторые кардинальные принципы познания» была зачитана за несколько месяцев до его смерти. Работа всей его жизни была сделана, и она оставлена в полноте на суд потомков. Ходжсон редко упоминал в печати об условиях, определявших его собственное интеллектуальное развитие, но в одном случае он все же упомянул обстоятельство, не лишенное биографического интереса. Шэрпу, одному из своих учителей, он был обязан, по его словам, многим, и не в последнюю очередь тем, что подтолкнул его к знакомству с трудами Вордсворта и Кольриджа, двух открывателей эпохи девятнадцатого века, по крайней мере в Англии. Из них двоих волшебный полумрак, который знал Кольридж, понравился ему больше, чем целительная сила Вордсворта. От Кольриджа он усвоил великий урок интимного единения интеллектуальных и эмоциональных элементов в человеческой природе. Кольридж, казалось, знал, что такое религия, – знал это на собственном опыте. Кольридж учил его, что эмоции, и особенно религиозные, так же глубоко вплетены в структуру и механизм сознания, как и любая особенность чувства или разума, что они проникают в самое сердце вещей, в скрытые пружины бытия. Однако это убеждение не привело его, как привело Кольриджа, к разработке теологической философии. Не привело, потому что он осознал то, чего не понял Кольридж, – существенное различие между реальным религиозным опытом и теологической догмой. Если определять религию по характерному для нее признаку веры, то Ходжсону казалось, что для нее не может быть иной надежной опоры, кроме Бесконечного; опора на Бесконечное была для нее в таком случае жизненной необходимостью. Но догматическое богословие пытается превратить веру в знание, пытается продемонстрировать веру, вместо того чтобы просто сказать: «Попробуйте». И таким образом объект веры мыслится не как бесконечный, а как субстанция, завершенная сама по себе, а значит, конечная. Когда делается этот шаг, на две самые свободные вещи во вселенной – религиозную веру и философскую спекуляцию – накладываются оковы. Конечный идеал сковывает одну из них, предрешенный вывод сковывает другую. Философия действительно должна признать естественные отношения человека с бесконечностью, но это признание необходимо только потому, что факты религии – это факты опыта, а дело философии – анализировать и рационально интерпретировать факты опыта, чтобы они стали светлыми и понятными для человеческой мысли. Короче говоря, те самые соображения, которые побудили Кольриджа решиться на построение спекулятивной теологии и предложить ее в качестве философской системы, были теми самыми соображениями, которые побудили Ходжсона отказаться от всех подобных попыток априорного построения и настаивать на том, что доверять следует опыту без всяких подвохов.
Философский метод, как его понимал Ходжсон, заключался в анализе содержания сознания или опыта, без предположений о его природе или способе происхождения. Ему казалось, что, описывая таким образом метод философии, он идет по пути, который можно решительно противопоставить трансцендентальному методу Канта, с одной стороны, и эмпирическому методу – с другой. Характерной чертой трансцендентального метода было, по его мнению, постулирование существования каузального агентства в субъекте, агентства или деятельности, чья функция заключалась в синтезе данных чувства в объекты опыта. Но принимать таким образом существование активного «я» как данность, объяснять опыт ссылкой на агентство такого рода, лежащее позади или вне его, означало строить всю свою философию на предположении того самого, что она должна была доказать. Если сознание само по себе является синтетическим агентством, то мы должны обратиться к анализу, чтобы выявить этот факт. Однако нельзя с полным правом считать, что оно является таковым до анализа, потому что идея агентства, идея активной силы вообще, является частью опыта, и объект этой идеи известен нам не иначе, как в качестве объекта одного из отделов опыта. Характерной чертой эмпирических методов, снова утверждал он, было постулирование существования вещей и их свойств, людей и их функций и рассмотрение опыта как продукта, обусловленного действием или влиянием таких предполагаемых вещей на предполагаемый индивидуальный разум. Но здесь, опять же, заранее предполагалась целая теория реальности, обоснование которой, если она верна, должна дать философия. Здравый смысл, несомненно, по искусству, столь старому и привычному, что оно стало привычным, принимает как данность множество округлых объектов, но дело философии – анализировать опыт в том виде, в каком он действительно дан, а не рассуждать на основе объектов или событий здравого мышления. Различия субъекта и объекта, «я» и «не-я», субстанции и силы, агента и агентства и т. п., принятые в здравом смысле, необоснованны в качестве исходных посылок философии. Они лишают ее естественности, поскольку делают ее произвольной, зависящей от идей или категорий, которые могут показаться конечными конкретным мыслителям, и от определений этих идей или категорий, которые они могут дать.
Если, стало быть, методом философии является анализ опыта без допущений, то из этого следует, что вопросы генезиса или истории не могут быть первичными. Мы должны сначала решить, как называется то или иное содержание сознания, прежде чем мы будем вправе спрашивать, как оно возникает или каковы условия, которые его порождают. В этом отношении философия, по мнению Ходжсона, резко отличается от психологии. Психология рассматривает феномены сознания так, как другие специальные науки рассматривают свой предмет. Она предполагает, то есть, индивидуальный разум или поток психических процессов и внешние существующие сущности, которые являются причинами или условиями возникновения этих процессов, и прослеживает, как индивидуальный разум постепенно осознает объективную среду и свое собственное существование в качестве конечного сознательного субъекта. Но для субъективного анализа опыта без допущений сознание должно быть взято просто как знание, в то время как сознание как существование будет для него одним объектом среди других, которые известны. Более того, это различие между знанием и известным, между сознанием и его объектом, не должно проводиться с самого начала. Первое, что мы должны сделать, – это точно определить, в чем состоит это различие и что именно оно подразумевает в отношении общей природы того, что открывается в знании.
С восхитительной тщательностью и точностью Ходжсон применил предписанный и обоснованный им метод к различным областям философских исследований. В одной из первых глав «Метафизики опыта» он, например, с тщательностью анализирует то, что он называет эмпирическим настоящим моментом сознания, беря в качестве примера слышание звука. Вскоре из этого анализа вытекает результат фундаментальной важности, а именно: каждый такой эмпирический момент включает в себя, с одной стороны, детерминированное содержание или качество переживания, а с другой – процесс переживания, подразумевающий изменение нашего опыта в целом или внутри него. Эти два понятия, содержание и процесс – например, услышанный звук и его восприятие – не различаются в простейших формах опыта; и хотя по мере развития сознания они начинают различаться, в действительности они являются различием аспектов, а не разделимыми факторами или элементами. Каждый конкретный процессуальный контент сознания имеет эти два аспекта – знание и известное, или восприятие и перцепция. Без одного из них не может быть другого. Но, утверждает Ходжсон, воспринимаемое содержание само по себе не является объектом восприятия; скорее, это природа или качество, то, что есть, восприятия. А процесс восприятия – это существование или возникновение, то, что есть, этого содержания в сознании. Эти аспекты, однако, являются необходимой эмпирической основой и фундаментом различия между субъектом и объектом. Сознание, короче говоря, является самообъективирующимся процессом. Сформулированный таким образом принцип лежит в основе теории познания Ходжсона, и не приходится сомневаться в чрезвычайной изобретательности объяснения, которое он предлагает факту, как он считает, объективизации. Мы должны представлять себе процесс сознания как непрерывно движущийся поток, как постоянно движущийся к будущему, в то время как сознание в его аспекте как содержание, известное, как постоянно отступающее в прошлое. Не успел я услышать звук, как этот звук исчезает и воспринимается лишь в слабой форме образа памяти. Теперь, в силу своего ухода в прошлое, известное содержание противостоит процессу познания, который продвигается в будущее. Между переживаемым содержанием и его возникновением неизбежно существует расстояние или, так сказать, интервал; и благодаря этому расстоянию или интервалу содержание превращается в объект, который, как нам кажется, существует независимо от процесса восприятия. Всякое восприятие, по сути, является ретроспективным или рефлексивным; и поскольку оно ретроспективно или рефлексивно, осознавая часть за частью своего содержания как прошлое, оно объективирует свое содержание, отбрасывает его, так сказать, как материал для различения.
Ходжсон не уставал настаивать на том, что сознание как знание – единственное свидетельство, которое у нас есть, не только о самом сознании во всех его проявлениях, но и о природе и существовании всего остального. Хотя необоснованно полагать, что все сущее должно с необходимостью состоять из сознания, все же содержание знания состоит из сознания, его esse есть percipi. Действительно, в одном из смыслов этого термина – и в первичном смысле – реальность или существование означает воспринимаемость. Воспринимаемость – это sine qua non основа, общая идея существования; экзистенция, независимо от того, состоит она из сознания или нет, должна мыслиться (если вообще мыслится) как, по крайней мере, возможно воспринимаемая. Ибо мыслить реальность или существование как не обнаруживаемое в сознании означает противоречие. Существование или реальность подразумевает в качестве своего коррелята или аналога сознание или знание. Другими словами, мы не можем признать царство Непознаваемого, как бы ни было бесспорно, что неизвестные нам вещи бесчисленны.
Но воспринимаемость не является единственным смыслом реальности или существования. Помимо того, что есть содержание, есть его то, что есть, и помимо его места в контексте опыта есть факт его появления там. Верно, что при анализе опыта необходимо в первую очередь абстрагироваться от вопроса, как он возникает. Но как только в анализе достигается та точка, которая раскрывает содержание сознания как экзистенции, возникает вопрос о том, как оно возникает. Как происшествие, как событие, каждая фаза сознания указывает на свою зависимость от условий; а поскольку любая фаза сознания – это особое или ограниченное существование, условия следует искать вне и помимо него самого. Эти условия, однако, объясняют только факт возникновения или существования состояния сознания здесь и сейчас; они не объясняют качество или природу его содержания. Например, эфирные волны, воздействующие на сетчатку глаза, связанную с мозгом, никоим образом не могут быть причиной того, что свет или цвета становятся такими, какими они являются в качестве ощущений; эти качества являются sui generis, и для них понятие причины не имеет никакого значения. Эфирные волны могут, в лучшем случае, вызвать возникновение рассматриваемых ощущений там и тогда, где они возникают. Фактически, Ходжсон был готов утверждать в качестве универсального положения, что только возникновение, но не качество, эффектов любого рода может быть строго приписано причинам, которые, как говорят, производят их; и как ограниченный таким образом концепция причины становится концепцией того, что он имел привычку называть реальным условием.
Исследование реальных условий, от которых зависит возникновение сознательных состояний, привело Ходжсона к отказу от выводов идеализма как необоснованных и к утверждению реальности материи, как существующей реальности, отличной от и независимой от знания или восприятия ее. Его причины были вкратце таковы. Прежде всего, анализ сознания как восприятия, знания или мышления не позволяет предположить, что само сознание является агентом. Ощущение напряжения или усилия, которое иногда считается свидетельством агентности сознания, само по себе является простым качеством процесса-содержания, так же как цвета или звуки. Таким образом, нет никаких оснований полагать, что сознание само по себе порождает или является реальным условием возникновения своих собственных состояний; да и вообще нет оснований полагать, что сознание, помимо своих состояний, вообще является экзистентом. Во-вторых, представление о материи как о реальном существующем объекте дает возможность думать об агентности как о причастном к ней. Ведь то, что мы подразумеваем под материей как реальным существом, – это занятость пространства, а это предполагает сцепление частей (в любой части пространства) ad intra и исключение частей (из других частей) ad extra. Сплоченность частей ad intra – это способ действия силы, а исключение частей, принадлежащих другим частям ad extra, при определенных обстоятельствах является условием вступления силы в действие. И в-третьих, у нас есть позитивное свидетельство того, что для своего генезиса как экзистента сознание зависит от агентства материальных сущностей. Сознание и телесный организм находятся в непосредственной близости, и последнее является непосредственным реальным условием первого. Выражая это отношение сознания к механизму, который его непосредственно обусловливает, сознание можно назвать эпифеноменом, хотя никогда не следует забывать, что его конечная природа или качества как таковые находятся вне всякой возможности быть объясненными какой-либо причиной или реальным условием. Разумеется, мы знаем о материи только как о восприятии; какой бы независимой от сознания она ни была на самом деле, мы не можем знать ее иначе. Но здравый смысл предполагает реальное существование материи на основе того, что мы знаем, и Ходжсон приложил немало усилий, чтобы показать, что это умозаключение здравого смысла оправдано. Первоначально мы получаем представление о материи благодаря сочетанию двух чувств – зрения и осязания. Но философский анализ позволяет нам отделить вторичные качества, такие как цвет, от атрибутов реальной материи и увидеть, что они в любом случае должны быть частью сознания и только сознания. Соответственно, вопрос решается следующим образом: Являются ли те свойства, которые мы воспринимаем или которые можно воспринимать только на ощупь, свойствами реальности, которая не является сознанием? Решающим соображением в пользу утвердительного ответа Ходжсон считает то, что одно и то же осязательное восприятие не может существовать как в объекте, к которому прикасаются, так и в телесном организме, который к нему прикасается. Поэтому, настаивал он, мы вынуждены прийти к выводу, что непосредственные восприятия прикосновения и давления одновременно являются восприятиями твердости и сопротивления материального объекта или указывают на них. Они, как он выражался, в некотором роде являются их копией. Итак, если сознание или восприятие есть causa cognoscendi материи и ее реального существования, то материя в ее реальном существовании есть causa existendi сознания.
Однако это не последнее слово философии. Идя по проторенному пути, Ходжсон был убежден, что сможет пробиться к еще более высокой точке зрения. Доказательства реального существования материи, по его мнению, свидетельствовали и о реальном существовании супраматерии или Невидимого. И это так, потому что представление о материи как о связном пространстве заставляет нас рассматривать материю как имеющую начало во времени и как имеющую минимальный и максимальный предел протяженности в пространстве. Следовательно, на спекулятивных основаниях мы вынуждены рассматривать мир реальной материи как зависящий от некоего постоянно действующего и вечно реального условия или условий, отличных от него самого и находящихся за пределами нашего теоретического знания, но не исключаемых из нашего понимания как непознаваемые. Рефлексия здравого смысла привычно возводит существование и продолжение материального и видимого мира к Бесконечной и Вечной Силе, и здесь, в очередной раз, философия рефлексии оправдывает рефлексию здравого смысла. Мы сами, действительно, являемся частью материального и видимого мира, поскольку мы не просто отдельные потоки сознания, а живые сознательные существа, чьи активные силы происходят от наших материальных организмов, и эти силы, действующие в нас, мы обозначаем как разум и воление. В разуме и воле, или в том, что мы называем сознательным действием, агентство материальной природы становится способным, частично и в некоторой степени, направлять свой собственный курс, и приобретает возможность свободного выбора. С помощью мозгового процесса воления сознательный агент перерабатывает материал, предложенный другими мозговыми процессами, и переиздает его в форме актов выбора, каждый из которых, так сказать, отмечен его собственным изображением и надписью. Выбор в соответствии с велениями совести воспринимается сознательными агентами как обязанность, от которой они не могут уклониться; характер предпочтительности, присущий одним содержаниям сознания по сравнению с другими, присущ самим явлениям сознания. И практический разум, подсказывая нам, как мы сами должны действовать, неявно говорит нам о том, как действует Бесконечное Существующее, видя, что его действие продолжается в нашем собственном. Ту яп наевос хрпдв. Таким образом, с моральной природой всякого воления связано
Идея невидимого мира как области существующего сознания, сходного с нашим по своей сущности, но столь же бесконечного и вечного, как и сам невидимый мир. Мысль о личности, которая в лучшем случае включает в себя только те действия, которые вызваны самыми высокими и достойными эмоциями, – это мысль о самой лучшей и благородной реальности, которая нам знакома, и мы воспринимаем ее как верное, хотя и неадекватное выражение мысли о высшей реальности в бесконечной и вечной вселенной. Надо признать, что у нас нет умозрительного знания о Боге как о личности, да и не может быть по самой необходимости, ибо умозрительно мы не имеем возможности соединить представление о личности с представлением о бесконечности. Но мы тем не менее вправе претендовать на мысль о Боге как о Личности со всей определенностью, которая присуща разуму в его практическом аспекте, – определенностью, которая, хотя и отличается по своему роду от определенности знания, ни в чем ей не уступает.
Такова в кратких и скупых очертаниях метафизика опыта Ходжсона, полученная путем анализа того, что, по его мнению, заключено в самом опыте. Формируют ли ее части, как теорию мироздания, последовательное и связное целое, предстоит определить более тщательной критике, чем та, до которой он дожил. В различных критических точках, без сомнения, ее сила должна быть проверена. Прав ли Ходжсон, считая, что содержимое сознания само по себе состоит из сознания и само по себе является существующей сущностью. Если сознание, как он утверждал, является самообъективирующимся процессом, то не включена ли в него ipso facto агентность? Если предположить, что все, что мы видим в строгом смысле слова, – это сознание, является ли вывод, который он сделал бы из реального существования материи, обоснованным? Удается ли ему сохранить верность своей концепции реальной обусловленности как учета только возникновения, но не содержания события, когда он приходит к вопросу об отношении между нашими моральными идеями и Бесконечной Реальностью? Эти и другие вопросы неизбежно встают перед нами, когда мы следуем его указаниям на пути, который он наметил и прошел. Но каким бы ни был вердикт по этим вопросам, факт остается фактом: перед нами результат больших и продолжительных усилий, направленных на решение проблем философии в духе человека науки, в самом прямом смысле этого слова.
Глава I. Место рождения науки
§1. Наука как поиск реальных условий
Анализ книги I. показал нам природу опыта, из которого складывается наша концепция реального мира людей и вещей, действий и событий, и с помощью которого, как доступного в любой момент доказательства, проверяется ее истинность. Он открыл нам мир, или объективную панораму, реальных объектов, о которых мы думаем, состоящую из двух классов реальных существ, кратко названных Материя и Существующее сознание, в отличие от объективной мысли, или (психологически) субъективной панорамы, с помощью которой мы представляем или думаем о нем. И в рамках первого, или мира реальных экзистентов, он еще глубже выявил различие, которое отделяет экзистенты, являющиеся одновременно реальными условиями и обусловленностями, от экзистентов, являющихся только реальными обусловленностями. Таким образом, здравая концепция вселенной, в которой мы живем, если говорить о ней в целом или в ее главных очертаниях, сразу же объясняется и оправдывается. И следующая задача, которая стоит перед нами, – это проследить за концепцией мира реальных условий, реалий реальной панорамы, которую мы получили в результате этого анализа, и посмотреть, как к ней относились и относятся те, кто взял ее в качестве исходных данных и исследовал ее с максимально достижимой точностью наблюдения, эксперимента и мышления. Я имею в виду, конечно, методы, концепции и результаты Позитивной науки.
Цель науки, как я полагаю, состоит в следующем: приобрести наглядное и точное знание о ходе природы и входящих в нее однородностях, частично с помощью концептуального анализа, подобного тому, что описан и показан в предыдущей книге, и частично с помощью вспомогательных методов. При этом подразумевается, что знание чисто исторической последовательности событий в ходе развития природы, даже если предположить, что оно может быть полностью достигнуто, не является ни всей, ни даже главной целью науки. Она, несомненно, входит в число ее целей, как цель, которая может быть достигнута путем построения результатов, полученных в различных аналитических отделах науки, предполагая, что они в достаточной степени исчерпывают факты, изучаемые каждым из них. Не то чтобы абсолютное начало или абсолютный конец всемирной истории были бы тогда достижимы. Некое реальное состояние, для нас недоступное, всегда должно предполагаться существовавшим в действительности, до какого бы состояния Материи мы ни имели основания считать его самым ранним из позитивно мыслимых. И точно так же в отношении будущего. Я имею в виду, что, какое бы состояние Материи мы ни считали тем, в котором завершится всемирная история, за ним должно следовать какое-то реальное существование или существования, недоступные нам, но обусловленные либо теми существованиями, которые составляют реальные условия материального мира, либо ими вместе с обусловленным ими миром. Таким образом, если мы представляем себе цель науки, достигаемую исчерпывающим знанием всемирной истории от начала до конца, мы тем самым представляем себе саму всемирную историю как часть более крупного целого, которое ускользает от нашего понимания. Но это, как я уже говорил, лишь одна из целей науки в целом. Основная работа науки ведется по отделам, а они делятся и подразделяются с неограниченной мелкостью. И здесь целью является не история, а право. Общие факты, единообразие или законы – вот что ищет всякая наука; эти три термина одинаково означают, что сходные реальные условия сопровождаются или следуют за сходными условиями, независимо от того, где, когда и как часто эти условия могут встречаться во всей мировой истории или курсе природы. То, что общие факты, единообразие или законы в этом значении терминов обнаруживаются повсеместно, какие бы конкретные факты ни подвергались исследованию, известно как закон единообразия в природе. В этом всеобъемлющем смысле, в котором он охватывает все конкретные однородности как случаи, он является идеальным законом или ожиданием, которое все еще ожидает своего полного подтверждения прогрессивными результатами науки. В то же время это не просто гипотеза, которая может оказаться ложной при проверке опытом, поскольку это единственное ожидание, касающееся фактов, которое мы можем сформулировать в мыслях; отрицание его несовместимо с мыслью о любом реально существующем объекте, или, что то же самое, его противоположность, совершенный Хаос, абсолютно немыслим. Отсюда очевидно, что закон единообразия, выраженный как закон реальной обусловленности, имеет свои основания в анализе реальных объектов, во-первых, как объектов восприятия во времени и пространстве, а во-вторых, как объектов сравнения, классификации и рассуждения, посредством которых они концептуализируются и подводятся под значение общих терминов, причем все эти термины являются выражением концепций, возникающих в процессах целенаправленного внимания к перцептивным данным. Простейший случай сходства между восприятиями является, таким образом, случаем универсального Единообразия Природы, продолжением и развитием которого является закон Единообразия как закон реальной обусловленности. Поэтому, когда мы не можем подтвердить его в каком-либо конкретном случае, или, другими словами, показать этот случай как его проявление, мы вынуждены говорить не о том, что закон неприменим к фактам, а о том, что наше нынешнее знакомство с фактами несовершенно.
Значение идеального или ожидаемого характера, приписываемого выше закону единообразия, может быть, возможно, более ясно представлено путем сравнения его с идеальностью другого рода, которая также задействована в этом законе. Сходство, на котором он основан, имеет идеальный предел в Подобии. Сходство между явлениями, выражением которого оно является и на котором как на наблюдаемом факте оно основано, никогда не может быть фактически известно как нечто большее, чем сходство, то есть как совершенная одинаковость или идентичность содержания, в разное время или в разных местах, как бы близко оно к этому ни подходило. Совершенная одинаковость содержания, происходящего в разное время или в разных местах, есть идеальный предел степеней возрастающего сходства содержания, происходящего в разное время или в разных местах. Но этот идеальный предел – не то, что выражает закон единообразия. Подобно тому как изменение является универсальным явлением в сознании, так и движение, или процесс, происходящий в материи, является универсальным явлением в материальных субстанциях. Поэтому можно легко представить, что ни одна порция материи никогда не продолжается строго одинаково в течение любого эмпирически воспринимаемого времени, и, следовательно, ни одно событие или действие между порциями материи никогда не повторяется, или является строго одинаковым по содержанию, в два или более различных момента времени. Если бы это было так, то идеальный предел закона однородности был бы строго достигнут в этом случае; хотя у нас не было бы средств проверить, так это или нет. Теперь в реальном ходе природы, то есть в ходе истории или эволюции материи, как неорганической, так и органической, вариации представляются универсальным фактом или явлением. Ее существование представляется одним из наиболее общих фактов, то есть законов, в природе. Другими словами, вариативность сама по себе является частным случаем общего закона единообразия, рассматриваемого как закон реальной обусловленности, и запрещает нам рассматривать ее как закон, который может быть выполнен только путем совершенной одинаковости содержания в численно различных объектах или событиях. Таким образом, идеальность, присущая закону единообразия, строго как закону, заключается не в идеальном пределе одинаковости, подразумеваемом в сходстве, а в отсутствии какого-либо общего и позитивно познаваемого стандарта выполнения; -то есть стандарта, с уверенностью указывающего в случае любых двух объектов или событий, одно из которых уже пережито, а другое нет, на вид и степень сходства между ними, включая сходство их отношений к окружающей среде, что позволило бы нам рассуждать, исходя из известных последствий или условий одного, к еще неизвестным последствиям или условиям другого. И эта идеальность, которая необходима для закона единообразия, также необходима и для закона вариации, и не только для него, но и для всех концепций фактов как общих фактов, то есть для всех законов природы, которые охватывают или покрывают особенности, которые, как отдельные факты, численно отличаются друг от друга.
Кроме того, из приведенного выше описания порядка реальных условий и закона единообразия, которому он (образно говоря) подчиняется, очевидно, что законы природы, входящие в этот последний, делятся на два различных класса. К первому классу относятся законы природы (в смысле сущности) тех фактов или объектов, которые одновременно реальны в полном смысле слова как реальные условия и принимаются за данные или конечные основания любой науки, будучи установленными путем анализа явлений, которые она рассматривает. Ко второму классу относятся законы генезиса, или реальной обусловленности, явлений, рассматриваемых любой наукой, законы, которые основаны на природе и законах ее данных и устанавливаются путем подведения под них ее явлений, как случаев, в которых действуют их природа и законы.
Каждая позитивная наука, таким образом, основана на анализе, как и метафизика, как было показано в предыдущей книге, разница заключается только в объекте; сознание во всей его полноте является объектом метафизики, реальные условия и их законы – объектом позитивной науки. Ясно также, и это будет становиться все более очевидным по мере того, как мы будем продолжать, что, поскольку все объекты, положительно познаваемые как реальные условия, являются объектами, занимающими время и пространство, конечные данные всех позитивных наук должны быть математически анализируемыми, и, следовательно, основания всех, в той мере, в какой они приближаются к идеальной цели быть точными науками, должны быть заложены в математическом анализе.
Весь этот метод исследования, как было показано в книге I, обусловлен практической необходимостью выявления реальных условий любого объекта или объектов, которые нас интересуют, то есть которые мы хотим либо обеспечить, либо избежать, увеличить или уменьшить. Метод концептуального анализа сначала создается, а затем служит этой практической цели. И служит он ей только благодаря выявлению реальных условий.
Но этот мотив и метод, а также концепция реального состояния, связанная с ними, являются общими для всех людей; донаучный человек работает точно так же. Возможно, именно поэтому он называл себя животным разумным и homo sapiens. Возможно, у него есть более удачные названия для этих обозначений, но наиболее очевидным является то, что он обобщает свои представления и тем самым сознательно применяет средства к целям, признавая их в этих символах.
Итак, если мы видим, что метод с его основными чертами является общим для научного и донаучного человека, то в чем же состоит его отличие как научного метода? Ответ может быть только один. Он заключается в степени точности, с которой этот метод используется. Когда концепция объектов как реальных условий и обусловленностей сознательно принимается в качестве руководства для умозаключений о вещах, существующих или не существующих, происходящих или не происходящих; и когда в дополнение к этому мы анализируем эти реальные объекты с целью установления их точных количественных отношений, то есть, другими словами, применяем точные измерения как средство обнаружения общих фактов или законов, которые они иллюстрируют; – тогда мы используем метод научно, и он становится научным методом. Сознательное применение измерений к существующим объектам с целью выявления законов их реальной обусловленности – это и есть истоки позитивной науки; а сама наука – не более и не менее как систематическое стремление к такого рода знаниям. Наука начинается с сознательного поиска реальных условий; она заканчивается открытием порядка реальной обусловленности во всех ее частях и ответвлениях.
§2. Материя, общая для науки и философии
Выше было показано, что реальные условия, безусловно, включают в себя материальные вещи в действии и повторном действии друг на друга, независимо от того, включают ли они также сознание как реальный экзистент. Концептуальный анализ хода природы, таким образом, распадается на два больших подразделения, во-первых, концептуальный анализ Материи, во всех ее различных способах существования, или реальной обусловленности ее частей inter se, и, во-вторых, исследование реальной обусловленности Сознания как существующего, или как сознания отдельных Субъектов. К первой главе относятся все физические, в том числе биологические и физиологические, науки, ко второй – психология. Очевидно, что необходимо начать с первой.
Материя, как мы видели, имеет две формы, в которых она нам известна: одна – как анализируемая в восприятиях, составляющих наше объективное представление о ней, другая – как анализируемая в физических молекулах или других видах физического содержания и их отношениях между собой, причем эти отношения могут быть либо постоянными, либо переменными. Одним словом, материя является общей основой, общим объектом философии и науки. Философия овладевает ею, так сказать, одной ручкой, а наука – другой; я имею в виду, что каждая из них дает свой анализ. Но объектом обеих наук является одна и та же Материя. Совпадение в пространстве и времени, проверяемое в настоящем восприятии, является знаком числовой идентичности. И как один и тот же кусок материи является объектом зрительных и осязательных ощущений, различающихся по виду, так и один и тот же кусок материи является объектом философского и научного анализа, различающихся по способу его анализа. Если бы не это числовое тождество в материи, их общий объект, наука и философия не имели бы ни общей основы, ни средств гармонизации своих различных результатов. Материя», намеченная и проанализированная каждой из них, была бы различна во всем, кроме названия, и разнородность этих двух занятий была бы полной. Психология также не могла бы соединить их. Ибо психология, которая теперь объединяет изучение физических реальных условий с изучением сознания в его экзистенциальном характере, в предполагаемом случае потеряла бы свой статус позитивной науки; и, поскольку в любом случае она должна рассматривать сознание как экзистенцию, она снова стала бы просто отделом философии, причем таким отделом, в котором трудно понять, как можно сформулировать какую-либо надежную или даже позитивно мыслимую гипотезу.
Следует заметить, что было бы неверно воспринимать это отношение между философией и наукой так, как если бы оно означало, что философия имеет дело с материей, какой она нам представляется, а наука – такая, какая она есть на самом деле. Если философия имеет дело с материей, какой она нам представляется, то наука должна иметь дело с ней, какой она представляется нам в действительности; термин «в действительности» означает: 1) обусловленность своим собственным неизвестным реальным состоянием и 2) взаимообусловленность своих частей между собой. Знание, которое наука имеет о материи, не более, а менее непосредственное, чем знание, которое философия имеет о ней. Материя сама по себе, как ее иногда называют, постигается наукой не больше, чем философией. И по той же причине, а именно: материя сама по себе – это фикция воображения, иллюзия, которая не имеет никакой реальности, кроме иллюзии. Наука, как и философия, является знанием, то есть относится к (философски) субъективному аспекту существования, и должна соответствовать субъективной природе знания, которое должно быть знанием объектов, а не «вещей в себе».
§3. Перцептивные данные науки
Далее очевидно, что наука, будучи сознательным поиском реальных условий, имеет некоторый предположенный объект в знании, относительно которого она осуществляет свой концептуальный анализ. На самом деле, как мы видели выше, существует знание о внешнем материальном мире, которое является донаучным, предпосылочным для науки. Оно исторически предшествует, потому что обыденная форма знания явно предшествует научной в порядке истории и обеспечивает перцептивные данные, которые наука возвращает в виде точных измерений и общих отношений. Таким образом, мир материальных воспринимаемых объектов является данностью и анализом науки, объектом, над которым наука работает, и законы которого она стремится открыть.
Теперь перцептивное знание, составляющее эту данность, анализ и объект науки, отнюдь не скудно. Это знание о твердых материальных вещах, занимающих пространство, многочисленных и находящихся в покое или в движении, относительно друг друга, в пространстве. Я называю его перцептивным, потому что оно предстает в перцептивной форме, когда наука начинает его анализировать, несмотря на то, что концепция была использована для его создания, как это было изложено в предыдущей главе. Твердые тела в покое или движении – это сложные восприятия, хотя наши представления о них были облечены в эту конкретную форму посредством концепции, действующей на простые восприятия, как они на самом деле возникают в опыте. Более того, сила вовлечена в материю, являясь тем ее свойством, благодаря которому она безошибочно и часто неотразимо дает о себе знать. И в покое, и в движении участвует как время, так и пространство.
Время, пространство, материя, число, сила и движение, таким образом, участвуют в качестве восприятий или элементов восприятий в знании, которое является объектом науки, до любого концептуального анализа, который учреждает наука. Я не утверждаю, что признание этих шести вещей в качестве отдельных объектов, названных каждый своим именем, не обусловлено концептуальным процессом, движущимся путем сравнения и классификации. Но я считаю неоспоримым, что знание о них как о признаках, принадлежащих объектам здравого смысла, предшествует науке, и что отчетливое признание их является первым шагом, сделанным в любом научном процессе измерения, сравнения или классификации. Короче говоря, они являются как наиболее очевидными, так и наиболее общими чертами в объектах обычной жизни, рассматриваемых как в отношении их реальной обусловленности, так и в отношении их нескольких сущностей, и как таковые должны были спонтанно предложить себя первым систематическим попыткам концептуального анализа, направленного на выявление реальных условий. И мотив, которым руководствуется наука, приступая к этому концептуальному анализу, является лишь продолжением того, которым руководствовалась донаучная мысль, то есть это некий интерес к предмету, который побуждает людей выяснять реальные условия тех вещей, в которых они заинтересованы, происходящих или не происходящих.
§4. Геометрия и кинематика
Именно таким образом наука делает первые предварительные шаги на пути к полному открытию законов реальной обусловленности. Она начинает с отбора и классификации явлений, находящихся перед ней, и таким образом закладывает основу для нескольких отдельных отраслей научного исследования, то есть для того, что впоследствии станет несколькими главными отделами позитивной науки. Она классифицирует и отделяет от других вещей те элементы внешнего мира, которые она считает конечными, то есть не поддающимися дальнейшему объяснению, по своей собственной природе, и в то же время считает условиями существования других вещей. Затем он придает единство мысли этим абстракциям, но не лишает их той реальности, которой они обладают как принадлежащие к реально существующему миру, от которого они абстрагированы.
Реальных условий или элементов реальных условий, взятых как объективно реальные, которые при таком методе должны в конце концов рассматриваться как конечные и фундаментальные (ибо я не собираюсь говорить об истории науки), два: время и пространство. Они, безусловно, должны казаться науке более фундаментальными, чем остальные четыре, потому что их можно рассматривать как абстракции, существующие независимо от остальных, в то время как Материя, Число, Сила и Движение не могут быть рассмотрены столь же независимо; поскольку либо только отношения времени, либо только отношения времени и пространства вместе, вовлечены даже в самую абстрактную концепцию, в рамках которой любая из них может быть представлена как существующий объект для мысли.
Теперь невозможно думать о неотделимом элементе восприятия сразу как о существующем и в полной изоляции от его соэлемента или соэлементов. Полагать изоляцию совершенной – значит полагать, что совершенно изолированный элемент исчезает из поля возможного опыта. Но Время и Пространство – это, как мы видели, неразделимые элементы восприятия. Пределом абстракции в случае времени была бы Вечность, то есть длительность без содержания и, следовательно, без предела, за исключением настоящего момента опыта, с которого мы начинаем мыслить и который служит минимумом содержания, необходимого для того, чтобы вечная длительность вообще оставалась перед нами как определенная идея. В случае с пространством соответствующий предел абстрагирования от содержания был бы достигнут в идее полной пустоты, бесконечной по той же причине. Но эта идея может быть понята только через процесс абстрагирования от наполненного или дифференцированного протяжения, и то лишь до тех пор, пока мы сохраняем некоторое воспоминание об этой дифференциации, чтобы противопоставить ее. Мы начинаем, представляя его себе, с заданной или предполагаемой точки пространства, а затем представляем его простирающимся от этой точки во всех направлениях. О том, как возникают эти идеи пустоты и вечности, будет сказано позже. Но из сказанного ясно следует, что невозможно считать ни Время, ни Пространство реально существующими, если не мыслить их как сохраняющие некий след своих материальных со-элементов восприятия.
Таким образом, наука считает их реально существующими. То есть время воспринимается математиками и физиками как нечто, что «течет равномерно», названное Ньютоном «абсолютным временем»; что полностью опровергает иногда возникающее представление о том, что время в его совокупности, которую можно назвать Вечностью, может рассматриваться как некое линейное вместилище для движений или событий, которые протекают через него или происходят в нем, в то время как само оно неподвижно, ????? ? ????. Уникальная особенность времени состоит в том, что оно предполагает длительность от первого до последнего времени, что свидетельствует о том, что оно является конечной характеристикой опыта, не определяемой ничем, кроме самой себя, то есть терминами, в которых его собственная природа принимается как известная. С другой стороны, из равномерного течения абсолютного времени ни в коем случае не следует, что время течет отдельно от других вещей, которые также текут, хотя и менее регулярно, или, возможно, иногда замирают. Время, взятое само по себе или абстрактно, есть не что иное, как факт продолжительности от первого до последнего времени во всех вещах (кроме чистых подразделений самого себя), абстрагируясь от различий в длительности периодов, занимаемых конкретными временными содержаниями, или, что то же самое, в скорости изменения или течения конкретных содержаний; поскольку только благодаря изменениям во временном содержании само время становится эмпирически ощутимым или идея его мыслима. Следовательно, то, что подразумевается под абсолютным временем, текущим равномерно, не больше и не меньше, чем то, что мы представляем его как делимое в идеале на отрезки длительности, которые точно равны друг другу. И эта делимость – след, сохраняемый ньютоновским «абсолютным временем» от его материального со-элемента, позволяющий воспринимать его как экзистенцию.
Ньютоновское «абсолютное пространство» также должно быть понято аналогичным образом, то есть как нечто отличное от полной пустоты, поскольку мы находим у него слова, что оно «semper manet similare et immobile» и является тем же самым, что и относительное пространство «specie et magnitudine», хотя и не всегда «numero», поскольку пространство, занимаемое одним телом относительно пространства, занимаемого другим, может оставаться неизменным, в то время как оно может занимать сначала одну, а затем другую часть абсолютного пространства[2 - См. «Схолию», приложенную к «Определениям» первой книги «Принципиума».]. Отсюда ясно, что даже «абсолютное 1) пространство» мыслится как образное, поскольку оно мыслится как сравнимое с «относительным пространством».
Теперь самая низкая или самая абстрактная степень образности, применимая к пространству во всей его полноте, – это та, которую дают три декартовы прямоугольные оси координат, пересекающие друг друга в одной точке, о которых уже говорилось в первой книге; образность, которая ни в коем случае не противоречит бесконечности пространства, так же как положение любого настоящего момента времени между двумя бесконечностями прошлого и будущего противоречит бесконечности или вечности времени.
Таким образом, мы видим, что конкретная материя – не единственная вещь, которая одновременно является общей для философии и науки и получает от каждой из них свой анализ. Время и пространство, которые я назвал формальным элементом в восприятии объектов, включая материю, находятся в одном и том же случае. В науке и в философии все три элемента численно идентичны, но аналитически различны. Именно этот факт различия в идентичности их объектов-материй позволяет науке и философии существовать в гармонии, взаимно поддерживать и дополнять друг друга. И установить этот факт – дело философии, просто потому, что она занимает более центральную и главенствующую позицию из двух, и единственную позицию, с которой можно различать и сравнивать обе процедуры, как это было более подробно изложено в предыдущей главе.
В то же время философия имеет дело лишь со сравнительно небольшим числом фундаментальных концепций науки. Их она обязана, по возможности, привести в гармонию с метафизическим анализом, установив тем самым истинные отношения, существующие между этими двумя направлениями, и показав, как они могут законно использовать результаты друг друга. Установление различий в идентичности их общей основы подразумевает, что каждая из них должна идти своим путем в развитии этой основы, в соответствии с различным анализом, который дает каждая из них. Не дело философии переписывать Евклида, конструировать вихревые атомы, взвешивать эфир или прослеживать пронизывающие его силы, определять Жизнь, анализировать нейронную энергию или выделять из нее деятельность нематериального агента. Концепции, проблемы, методы и результаты этих двух занятий различны, несмотря на то что объектом и источником обоих является один и тот же опыт. Мне нет нужды говорить о том, что и так очевидно для научного читателя, что я не претендую на то, чтобы писать как эксперт в какой-либо математической или физической науке. Моя цель – показать, как их основополагающие концепции гармонируют с философскими, исходя из одного и того же опыта, но по-разному обработанного. Когда наука объективирует материальные существа, отделенные друг от друга в пространстве и во времени, очевидно, что это влечет за собой необходимость отдельно объективировать время и пространство, как среды, в которых материальные существа имеют свое бытие и функционируют. И эта отдельная объективация того, что изначально и по сути является нераздельными формальными элементами восприятий, влечет за собой их дублирование в мышлении, что может стать источником многих недоумений. Ведь восприятия не перестают иметь длительность, когда мы объективируем длительность как среду, в которой восприятия существуют и изменяются; зрительные и осязательные восприятия не перестают быть протяженными, когда мы объективируем пространство как среду, в которой видимые и осязаемые объекты существуют и перемещаются. Таким образом, мы должны быть осторожны, чтобы не спутать длительность или пространство, занимаемое восприятиями или материальными объектами, с длительностью или пространством, в котором или через которое, как носители информации, они, как говорят, изменяются или движутся.
Например, когда тело движется, оно, кажется, несет с собой ту часть пространства, которую занимает, и в то же время оставляет позади себя равную часть теперь уже пустого пространства; то есть одна и та же часть пространства, кажется, одновременно движется вперед и остается неподвижной. Эта видимость и путаница в мыслях, которую она способна вызвать, обусловлены отдельной объективацией пространства как среды. Но путаницы не возникнет, если мы будем помнить, (1) что время и пространство на самом деле не дублируются, если мы их отдельно объективируем, и (2) что, когда они так объективированы, они eo ipso считаются полностью независимыми от занятости или незанятости любой из их частей восприятием или объектами, и не оказывают никакого сопротивления или препятствия любым изменениям содержания, происходящим внутри них. Так, пространство, занимаемое движущимся телом, о котором только что шла речь, последовательно и численно отождествляется, по мере движения тела, с различными частями пространства, взятыми отдельно в качестве среды; или, другими словами, различные части пространства как независимой среды последовательно становятся частями, занимаемыми телом по мере его движения. Таким образом, чистое или абстрактное время и пространство, объективированные как отдельные экзистенты или медиа, являются образами, частично обусловленными концептуальным мышлением, дополнительными способами, с помощью которых мы более полно представляем единую реально существующую длительную и пространственную панораму.
Но поскольку время и пространство действительно существуют в материальных вещах, а также между ними и вокруг них, и поскольку, кроме того, деления, которые различия в содержании вносят во время и пространство, являются средством, с помощью которого мысли могут быть внесены в них идеальные деления, такие как математические моменты времени, математические точки, линии, поверхности и углы в пространстве, – из этого следует, что эти идеальные деления могут быть сделаны средством измерения материальных вещей и их операций, а также идеального измерения времени и пространства как объективных медиа. Точное измерение – это первый и необходимый шаг к установлению физических процессов любого рода. Из этого снова следует, что чистая геометрия образует своего рода статическую Логику физики; и, основанная на геометрии вместе с понятием продолжительности времени, Кинематика, наука о физическом движении, абстрагируясь от вопроса, какие виды физической силы используются для производства движений, образует как бы вестибюль, сначала к Динамике, а затем к еще большей и более сложной науке Энергии, которая охватывает (по крайней мере, в концепции) все силы природы, когда они воспринимаются как реально действующие или как Энергии нескольких видов.
Факт движения в мире пространства и материи, хотя мы можем абстрагироваться от его связи с силой, не может быть отделен в мыслях от фактов времени и пространства, как только мы проведем вышеупомянутые различия Ньютона между абсолютным и относительным временем, а также между абсолютным и относительным пространством. В уже цитированном Scholium к Определениям Первой книги Principia упоминаются четыре вещи, к которым применимо то же самое различие. Две другие – это абсолютное и относительное Место, а также абсолютное и относительное Движение. И определения двух видов места и двух видов движения тесно зависят от определений двух видов пространства. «Место, – говорит Ньютон, – это часть пространства». Место тела – это часть пространства, которую оно занимает. И оно абсолютно, если берется в абсолютном пространстве, и относительно, если в относительном; «pro ratione spatii, vel absolulus rel relations». От этого зависят определения двух видов движения. «Абсолютное движение – это перевод тела из одного абсолютного места в другое; относительное движение – перевод из одного относительного места в другое». Таким образом, мы видим, что фигурное пространство, движение, а также направление, скорость и продолжительность движения – это понятия, которые тесно связаны друг с другом, взаимно причастны и как единое целое вполне могут рассматриваться в абстракции как от видов материи, так и от видов силы, в которых они возникают или от которых они зависят. В таком виде они составляют введение к динамическим и получили название кинематических. «Мы принимаем, – говорят авторы хорошо известного „Трактата по натуральной философии“ в своем предисловии, – предложение Ампера и используем термин „кинематика“ для чисто геометрической науки о движении в абстрактном виде». Они посвящают ей фактически первую главу, занимающую 200 страниц, своего великого труда.[3 - Treatise on Natural Philosophy, by Sir William Thomson (Lord Kelvin), F.R.S., and Peter Guthrie Tait. 2 vols. Cambridge. New Edition, 1879.]
Того же курса придерживается У. К. Клиффорд в своих «Элементах динамики», оставшихся, к сожалению, незавершенными.[4 - Elements of Dynamic, «Part I., Kinematic, Two vols. 1878 and 1887. Macmillan.]
§5. Число
Существует еще одна наука, необходимая для точного измерения, и, возможно, самая элементарная из всех, о которой еще предстоит упомянуть, – наука исчисления. Она также берет свое начало в перцептивных данных, хотя и совершенно иным образом, чем геометрия и кинематика. Его корневым восприятием является восприятие числа, восприятие, полученное, конечно, посредством представления, однако полученное в результате простых восприятий, а не обязательно в результате сложного восприятия внешнего или пространственного мира. Как бы ни были очевидны предметы, предлагаемые восприятию по отдельности, как, например, дерево, гора, вспышка молнии, раскат грома, звезды, пять пальцев руки и так далее, все же они распознаются как единицы, то есть подсчитываются, только в результате акта внимания, отмечающего факт их отделения от контекста. Для возникновения восприятия необходимо некоторое перцептивное различие, но оно не должно быть больше, чем такое различие, которое неизбежно связано с самим восприятием. Человек, по сути, должен был научиться считать еще до восприятия таких сложных предметов, как несколько только что перечисленных, то есть в процессе обучения восприятию их как отдельных предметов, что уже было проанализировано в книге I. Число, таким образом, совершенно не зависит от пространственного расширения, насколько это существенно для него; хотя также очевидно, что, когда способ внимания, называемый счетом, стал привычным, нет такого содержания сознания, к которому он не мог бы быть применен.[5 - В том, что число не обязательно зависит от пространственных представлений, я с удовольствием соглашаюсь с моим другом М. Э. Биллоном в той ценной серии статей под названием A propos de la Notion du Nombre, которые он с интервалами помещал в разных номерах «La Critique Philosophique» с июня 1882 по январь 1885 года. См. в частности №25 (Douzieme Ann^e) 21 Juillet, 1883, и №27 (того же года) 4 Aotit, 1883. Наверное, мало найдется людей, которые могли бы читать эти тщательно аргументированные статьи без поучения и пользы. Кроме того, они рекомендуются английским читателям, поскольку содержат острую критику взглядов, которых придерживались Дж. 8. Милля, д-ра Алекса. Бейна и мистера Герберта Спенсера по вопросу о нашем восприятии последовательности и сосуществования. Тем не менее я не могу принять теорию уважаемого автора в целом, поскольку расхожусь с исходным предположением, которое он кладет в ее основу, а именно, что наше восприятие числа частично, но в основном обусловлено априорной идеей или формой в сознании, которую он называет категорией и которой он приписывает аналогичную природу и равный ранг с теми априорными формами, идеями или категориями, из которых, по его мнению, в конечном итоге происходит наше восприятие пространственных позиций и временных последовательностей. См., в частности, Noi 39, за 27 октября 1883 г., стр. 202—203 и стр. 206—207. М. Биллон, по сути, строго придерживается той модифицированной формы кантианства, которая обязана своим существованием мощному уму М. Ш. Ренувье.]
Подсчет количества данных эмпирических и дискретных предметов, таких как последовательные звуки колокола, или стадо овец, или куча монет, означает наблюдение за тем, есть или нет для каждого акта подсчета единицы с нашей стороны, в серии или совокупности, подлежащей подсчету, один определенно обозначенный предмет для соответствия. Другими словами, это означает наблюдение за соответствием серии или совокупности, с точки зрения числа, некоторому абстрактному числу, которое известно и записано под именем или символической фигурой, и которое стало частью обстановки памяти, прежде чем быть использованным в качестве стандарта числа для данных дискретных и эмпирических предметов, подсчитываемых с его помощью. Кроме того, следует заметить, что только сходные предметы могут быть сосчитаны вместе таким образом; то есть мы должны абстрагироваться от их различий в роде, прежде чем сможем их сосчитать. Скажем, например, что стадо овец состоит из белых и черных овец. Чтобы сосчитать стадо, мы абстрагируемся от этого различия, так же как при подсчете белых или черных овец мы абстрагируемся от различий, которые отличают одну белую овцу от другой, а одну черную овцу от другой. Так же мы можем считать звуки колокола и овец в стаде вместе; но только при условии, что мы абстрагируемся от их различий и рассматриваем их просто как множество отдельных восприятий или переживаний. Одинаковость вида подсчитываемых предметов, таким образом, является условием того, что они вообще могут быть сосчитаны, то есть что они могут быть сопоставлены, только с точки зрения числа, со схемой или серией абстрактных чисел, которые мы берем с собой, когда считаем их. Поэтому первый вопрос, касающийся числа, заключается в том, как первоначально, или в первом случае, мы получаем идею числа или чисел в абстрактном смысле; каково значение слова один; или каково происхождение счета или нумерации, прежде чем применять его для подсчета данных эмпирических и дискретных объектов, о которых мы заранее знаем, что они существуют в том или ином количестве. Ибо именно число в этом строгом и абстрактном смысле, а не число в примере данных эмпирических и дискретных объектов, будь то во времени в отдельности или во времени и пространстве вместе, является предметом исчисления. Ничто не дано нам в первоначальном опыте готовым к подсчету. Различия в восприятии изначально даны и являются конечными данными восприятия и опыта; но нам приходится считать их для себя, и считать их после того, как мы наблюдали их как различия, а восприятия как различия. В чем же, в таком случае, состоит счет изначально и по существу? Как мы впервые произносим слова «один», «два», «три» и т. д. со значением, или, как можно выразиться, замечаем факт числа в восприятии?
Теперь, помимо только что упомянутого источника, а именно различий в восприятии, есть еще один положительно известный источник, из которого может возникнуть счет или нумерация. Это акт или акты внимания к различиям в восприятии, или к восприятию как к различию, с целью узнать о них больше, чем говорит нам простое восприятие их как различий. Это акт того же рода, что и тот, в котором берут начало концепция и логическое мышление, а именно акт избирательного внимания с целью узнать нечто большее о происходящем содержании сознания (хотя, конечно, ни акт, ни его цель не осознаются как то, чем они являются, в самых ранних случаях их совершения). Поэтому он подчиняется тому же высшему закону мысли, что и акт, в котором зарождается мысль; а именно, закону, выражением которого являются так называемые постулаты логики – тождество, противоречие и исключенное среднее. Разница заключается в том, что в акте счета или нумерации внимание направлено не на продолжение вообще, каким бы оно ни было, не на сходства или несходства всех или многих видов в содержании, которое предстоит пережить, а исключительно на один-единственный вид обстоятельств в этом содержании, а именно на место во временном потоке сознания, которое займут различные содержания, абстрагируясь как от конкретной природы, так и от конкретной продолжительности этих содержаний.
Поэтому акт, порождающий нумерацию, хотя и тождественен по виду акту, порождающему представление и мышление, но не является со-вечным этому акту, а, напротив, предполагает его. Акты представления и мышления, с их содержанием, но в их простейшей форме, являются его объектом-материей, являются переживаниями, в которых он впервые замечает особенность или факт, что они являются делениями потока времени и изменяют его течение; или, другими словами, это переживания, в которых он впервые ясно замечает, что они содержат (ненаблюдаемые сами по себе) отличие одной части потока времени от другой и фактически идеально разбивают его на различные части, независимо от вида или качества содержания, принадлежащего к этим различным частям. Это внимание к актам мысли в их простейшей форме, с сознательным абстрагированием от качеств их содержания, есть акт счета или нумерации в его простейшей форме; это акт, в котором и посредством которого счет или нумерация возникают, а слова один, два, три и т. д. впервые произносятся как выражение значения. Сам по себе он является актом мышления, но не является актом мышления в его простейшей форме. Это акт, надстраивающийся над актами мысли в их простейшей форме, акт внимания, воспринимающего их как абстрактные разделения потока времени, помимо различий в качестве содержания, которое они тем самым также разделяют. В нумерации, таким образом, акты разделения временного потока сознания, абстрагируясь от всех конкретных различий в его содержании, являются тем, на что мы обращаем внимание, или, другими словами, являются тем, что подсчитывается; и, таким образом, эти акты и порядок, в котором они происходят, сами становятся единицами, с которыми изначально и по существу связано исчисление. Эти акты, следует отметить, не являются актами внимания просто к различиям между отдельными дискретными восприятиями, или между любыми из них и сериями или совокупностями таких восприятий, или между различными сериями или совокупностями таких восприятий, как они даны только в восприятии с интервалами между ними. Я имею в виду такие различия, как, например, между звуком колокола, слышимым в одиночку, и двумя звуками колокола или любым другим большим числом, слышимым в близкой последовательности друг за другом, или, скажем, между четырьмя и пятью такими звуками, слышимыми одинаково. Подобные действия, взятые сами по себе, то есть в отличие от действий по применению уже приобретенных чисел для подсчета определенных серий или совокупностей, о чем говорилось выше, не являются актами подсчета. Это акты регистрации и наименования отдельных дискретных восприятий, или серий, или совокупностей дискретных восприятий, по мгновенному впечатлению одинаковости, производимому ими; так что серия или совокупность, которую мы назвали четыре в одном случае, мы можем назвать пять в другом, без всякой уверенности, что четыре и пять не являются именами, одинаково применимыми к одной и той же серии или совокупности и, следовательно, идентичными друг другу по смыслу. Подобные акты никогда не могут стать основой точной науки, поскольку они не дают единого неизменного восприятия, на основе которого можно было бы выработать универсально применимое определение.
Единственный истинный и порождающий акт счета – это акт внимания, но не просто к восприятиям, а к предыдущему акту внимания, который уже выделил то или иное восприятие с целью дальнейшего опыта и тем самым внес в поток времени разделение, которое без него не было бы воспринято в потоке времени. Таким образом, избирательное внимание к потоку времени – это первый и основополагающий акт счета, просто акт мысли; избирательное внимание к этому акту, исключительно как к разделению потока времени, – это второй и характерный акт, наложением которого на первый является собственно акт счета или нумерации; существование порядка или последовательности в отмеченных разделениях обусловлено не актами внимания, посредством которых они отмечаются, а тем конечным фактом сознания, соединением длительности с изменением, который заставляет нас характеризовать сознание как поток времени.
Но абстрагируясь таким образом от всего, кроме актов деления потока времени и места этих актов в порядке последовательности относительно друг друга, второй акт избирательного внимания, который завершает первоначальное восприятие числовых единиц и является первым актом собственно счета, также, и ipso facto, возвращает их, так сказать, в перцептивный порядок, или порядок во времени, из концептуального или логического порядка, в который их на мгновение поместил первый акт избирательного внимания, позволяя им быть познанными как подобия, подпадающие под общий заголовок делений временного потока, или числовых единиц. Каждый такой акт или единица является в дальнейшем единственным или индивидуальным перцептивным представлением, или репрезентированным перцептом, отличающимся только своим местом относительно других такого же рода в репрезентированном временном потоке, названным или иным образом отмеченным только по месту, которое он занимает в репрезентированном ряду, к которому он принадлежит, и имеющим значение, зависящее только от этого места, то есть от количества единиц (в остальном неотличимых друг от друга), которые должны быть сначала представлены или мыслиться как представленные, чтобы прийти к нему. Мы не можем первоначально или в первом случае сосчитать 2, не помня об акте счета 1 и не соотнося второй акт с первым, который один только и придает значение 2; то же самое верно в отношении 3 по отношению к 2, в отношении 4 по отношению к 3 и так далее, до тех пор, пока мы можем идти в счете.
Таким образом, акты счета, будучи объективированы, сами являются сосчитанными единицами, – что возможно только потому, что сознание рефлектирует, а также направлено вперед, – и поэтому каждое число имеет двойной характер, один как счет, другой как сосчитанная единица. Объективированное как счетная единица, оно ipso facto[6 - Из определенного факта или условия следует неминуемый вывод или заключение.], по причине, которая сейчас будет указана, берется как количество, то есть полный предмет представления, непрерывный ad intra, в котором сосуществуют форма и материя восприятия, хотя и без какого-либо уточнения способа ощущения или качества этого количества, кроме факта его отличия от других единиц или групп единиц, посредством акта или актов счета, то есть его места в ряду. Объективированный как акт счета, он есть не что иное, как сама операция, единая по виду, посредством которой осуществляется вся нумерация, то есть операция, взятая в абстракции от места в ряду или значения количества, которое подсчитывается с ее помощью.
Этот факт двойного характера, присущего каждому числу, когда каждый из символов различим и объективируем отдельно от другого, факт, который помогает объяснить многие кажущиеся несоответствия, мы можем увидеть на примере сравнения фундаментальных операций арифметики. При сложении и вычитании мы рассматриваем единицы как уже подсчитанные, как имеющие свое место и соответствующее значение в ряду единиц, о которых идет речь, но абстрагируясь от актов счета, с помощью которых им было отведено это место. В умножении и делении, с другой стороны, подсчитываемые единицы либо берутся таким же образом, и в этом случае умножение и деление являются просто сокращением процессов сложения и вычитания; либо они берутся как идентичные с актами подсчета, актами, которые первоначально назначают им их место и значение в ряду.
Например, при умножении 1 x 1 x 1 x 1 x и т. д. всегда и навсегда равно 1; это означает, что число раз, которое мы считаем 1, никогда не делает его ничем иным, кроме как единицей; или что единица 1 и акт счета 1 одинаковы по виду, природе или значению; такой способ рассмотрения отвечает A есть A, или постулату тождества, в логике. И то же самое в делении, где 1, деленное на 1, или
/
, всегда равно 1; процесс, имеющий то же самое значение. Любое число, скажем 1000, посчитанное один раз, то есть умноженное на 1, всегда равно 1000, сколько бы раз вы его ни считали. Опять же, умножьте его на 0, и оно аннигилируется; 0, или ноль, здесь означает, что акт подсчета отрицается, и таким образом оно сводится к небытию как количество. Так и при делении: любое число, скажем 1000, сравниваемое один раз с самим собой, то есть деленное на 1, всегда остается 1000, сколько бы раз вы ни повторяли сравнение. Делить же его на 0 – значит, напротив, придавать ему бесконечную величину, поскольку оно отличается от того, что как величина принимается за свою меру, на всю разницу между бытием и небытием. Например, при умножении 1 x 1 x 1 x 1 x и т. д. всегда и навсегда равно 1; это означает, что число раз, которое мы считаем 1, никогда не делает его ничем иным, кроме как единицей; или что единица 1 и акт подсчета 1 одинаковы по виду, природе или значению; что соответствует A есть A, или постулату тождества, в логике. И то же самое в делении, где 1, деленное на 1, или
/
всегда равно 1; процесс, имеющий то же самое значение. Любое число, скажем 1000, сосчитанное один раз, то есть умноженное на 1, всегда равно 1000, сколько бы раз вы его ни считали. Опять же, умножьте его на 0, и оно аннигилируется; 0, или ноль, здесь означает, что акт подсчета отрицается, и таким образом оно сводится к небытию как количество. Так и при делении: любое число, скажем 1000, сравниваемое один раз с самим собой, то есть деленное на 1, всегда остается 1000, сколько бы раз вы ни повторяли сравнение. Делить же его на 0 – значит, напротив, придавать ему бесконечную величину, поскольку оно отличается от того, что как величина принимается за свою меру, на всю разницу между бытием и небытием.
Если же, с другой стороны, мы воспринимаем время или акты счета или иного обращения с данными числами как сами являющиеся или состоящие из уже сосчитанных единиц, то процессы умножения и деления становятся, как уже говорилось, просто более сложными методами сложения и вычитания. Умножить 1 на 6 – значит просто прибавить 1 к другому 1 шесть раз, или переместить 1 с первого на шестое место и значение в ряду уже сосчитанных единиц. И наоборот, разделить 1 на 6 – значит разделить 1 на 6 частей, или меньших единиц, равных друг другу, и вычесть пять из этих частей, то есть все, кроме одной, из полученного числа, которое таким образом становится одной шестой частью, или дробью, от первоначально данной единицы. Дробные числа – это, по сути, единицы, только более низкого порядка, чем те, с которых мы начинаем, а именно целые числа. При их получении целое число рассматривается как делимое, а значит (хотя оно может быть и единицей) как континуум. И здесь нас снова встречает тот же феномен; я имею в виду, что акт деления исходной единицы или целого числа, рассматриваемого как единица, на дробные части, скажем 6, включает в себя сначала равное число актов счета, то есть 6, а затем акт признания их как вместе составляющих делимую единицу. Каждая из шести шестых является единицей (хотя и более низкого порядка), поскольку она соответствует и изначально является существом одного акта счета. Каждая исходная единица, взятая как счетное число, делится, таким образом, на неопределенно большое число меньших единиц, называемых дробями, число которых увеличивается, а величина, взятая по отдельности, уменьшается, пропорционально тому, как большие значения придаются их знаменателям.
Отсюда следует, что только когда единицы воспринимаются как тождественные актам счета, которые занимают разные места в потоке времени, как это имеет место при первом счете или построении ряда целых чисел, 1, 2, 3, 4, … и т. д., 2 означает два последовательных акта счета, 3 – три последовательных акта и так далее, что можно сказать, что они равны друг другу; дело в том, что тогда они берутся с абстрагированием от всех различий, кроме различия места в ряду, из которого вытекает все различие в величине, то есть в величине как квантов. В этом, по-видимому, и заключается истинное решение той сентенции, которой Кант озадачил своих современников, что выражение 7+5=12 является выражением синтетического, а не аналитического процесса. Дело в том, что мы строим ряд чисел в анализе, то есть, в данном случае, в делении, потока времени. Акты счета, будучи актами мысли, являются, как и все акты мысли, одновременно аналитическими и синтетическими; аналитическими в отношении времени – потока сознания, который они воспринимают в ретроспекции, и моменты которого они подсчитывают и называют по мере его удаления; синтетическими как последовательные моменты в психологических поступательных процессах, принадлежащих самому потоку времени, который постоянно добавляет новые содержания к уже воспринятым. Таким образом, совершенно верно, что вы не можете проанализировать 12 на 7 +5, пока вы сначала не досчитаете до 12, пройдя по пути через 5 и 7. Первоначальный процесс счета, который является одновременно аналитическим и синтетическим для временного потока, является чисто синтетическим для числа 12. Только в дополнительном акте ретроспекции мы осознаем его анализ на 12 последовательных моментов процесса счета, который, тем не менее, является аналитическим, а также синтетическим процессом потока времени, и чисто аналитическим, поскольку в нем присутствует элемент мысли. Если числа являются порождением мысли из восприятия, то первоначально они получаются путем анализа восприятия, но не путем анализа чисел. Их анализ как чисел происходит, когда мы видим каждое последовательно сосчитанное число в ретроспективе. Ибо числа, то есть единицы или структуры единиц, произведенные и подсчитанные таким образом, взятые в качестве данных или объектов мысли, полученных в результате этого двойного процесса, сами могут быть вспомнены в мысли, а их числовые отношения друг к другу, как такие данные, исследованы и установлены. Таким образом, они распадаются на различные порядки, как мы видели выше в случае с дробью, полученной делением целого числа. Установление отношений чисел всех возможных порядков или видов друг к другу, взятых в качестве данных или реальностей, имеющих свои собственные законы, – вот в чем заключается вся суть исчисления как чистой науки о числах, не считая ее применения к измерению величин, отличных от числа или самих чисел. Фактически число само по себе является отношением. Любое целое число может быть выражено в виде дроби, знаменатель которой равен 1. Смысл этого числа как целого заключается в его отношении к 1; или, другими словами, его место в ряду целых чисел, а значит, и его ценность, заключается в его отношении к единице. Таким образом, единство является, так сказать, стержнем, на котором держится вся наука исчисления, поскольку оно есть тот акт или то число, в котором акт подсчета и подсчитываемая вещь совпадают или тождественны.
Это соображение приводит нас к той причине, о которой говорилось выше, что, объективируя акты счета как счетные вещи, мы рассматриваем и не можем не рассматривать их как континуумы. Дело обстоит так. Когда вниманием мы производим то разделение временного потока сознания, которое мы называем счетом 1, – а ясно, что без некоторого содержания сознания, которое нужно разделить, никакое разделение невозможно, – мы различаем момент времени, который предшествует, от момента, который следует за этим разделением; Эти два момента времени непрерывны друг с другом, за исключением того идеального разделения, которое вносит наш акт и которое, как обусловленное нашим актом, мы называем идеальным и считаем, что оно само по себе не занимает никакой продолжительности в данном временном потоке, поскольку предположить, что оно занимает, значило бы фальсифицировать данный факт собственным предположением.
В первом или, скорее, простейшем акте счета 1, следовательно, есть, по крайней мере, три вещи, неразрывно связанные между собой; два непрерывных момента времени и идеальное деление, которое делает их дискретными, то есть различает, не разделяя их. И то же самое замечание справедливо для каждого отдельного акта счета 1, следующего за первым; то есть для счета 2, или 1+1; 3, или 2 +1; 4, или 3 +1, и так далее. Мы не можем отделить, кроме как путем дальнейшей абстракции, акт счета 1, когда бы он ни происходил, от временной пропорции или вещи, которая выделяется этим актом как одна вещь. Акт счета, следовательно, есть акт, который различает или считает первый из двух непрерывных моментов, о которых только что говорилось, и который в момент счета воспринимается в ретроспективе как один, а второй из этих моментов, который в тот же момент воспринимается в предвидении, как два; два – это имя, которое характеризует его исключительно по отношению к одному; а сам акт подсчета, которым обусловлено это различие, признается актом подсчета только в результате последующего рефлексивного восприятия процесса, в котором он участвует и в котором он признается существенным или характерным ингредиентом, а не как образующий третью подсчитываемую вещь.
В качестве иллюстрации предположим, что сейчас 12 часов дня воскресенья. В этот момент я ретроспективно считаю воскресенье первым днем, а понедельник, который начинается в этот момент, предвосхищаю как второй день, который, тем не менее, не станет целым днем, пока я не смогу посчитать его также ретроспективно, в 12 часов ночи понедельника. Акт подсчета, то есть различения воскресенья как одного, понедельника как двух, вводит идеальное разделение или границу, которая сама по себе не имеет продолжительности, между двумя днями и называется 12 часов ночи воскресенья. В природе, в отличие от моего акта счета, нет такого идеального деления или предела продолжительности времени; есть только непрерывное вращение Земли вокруг своей оси, подвергающее часть за частью земной поверхности воздействию солнечных лучей, процесс, в представление которого я ввожу идеальное деление или предел, для целей вычисления и измерения. «Neque, notit Natura limitem» – это не менее глубокое, чем точное замечание Ньютона, когда он говорит о применении этого же процесса счета в дифференциальном исчислении.[7 - In the Scholium to Section I., Book I., of the Principia.]
Абстрактные акты счета, таким образом, всегда и обязательно являются актами разделения континуума того или иного рода, будь то чистая длительность (как в чистом исчислении), или пространственная протяженность (как в геометрии), или то и другое вместе (как в случае движения), или какое-то другое содержание, общее для обоих (как в случае силы, интенсивности и энергии), идеальными пределами или границами, которые сами не имеют длительности или протяженности. Именно от нашей способности делать это при изучении конкретных явлений природы, будь они физически непрерывными или физически дискретными, зависит точность физических наук. Таким образом, различие между абстрактным актом подсчета или введения в данные континуумы идеальных делений, которые не занимают никакой части этих континуумов, и его результатами, а именно частями континуумов, которые отличаются друг от друга и подсчитываются или измеряются таким образом, – это различие должно быть тщательно проведено и соблюдено. Числа не имеют реального существования, кроме как в качестве зафиксированных результатов таких действий.
Следовательно, когда мы приходим к объективации актов счета, мы можем сделать это двумя способами. Если, во-первых, мы объективируем их как абстрактные акты, мы обнаружим, что все они одинаковы, – есть одна природа, общая для них всех, – есть (общий) акт счета как таковой в отличие от подсчитанных чисел, какими бы они ни были, и перед нами чисто логическая сущность, частные случаи которой неотличимы друг от друга. Но если, во-вторых, мы объективируем их (хотя и различаем только с помощью абстракции) так, как они существуют или существовали в действительности, и отличаем одно от другого, каждое как определенный акт, – то мы обнаружим, что делаем и можем сделать это различие, только принимая каждое как воплощенное или представленное определенным числом, которое оно порождает и которое является его неотделимым результатом. Каждое число или модификация числа будет тогда представлять определенный акт счета по отношению к ряду других, от которых оно непосредственно зависит; и его место в том ряду или системе чисел, к которым оно принадлежит, является единственным средством, которое мы имеем для записи и различения акта счета, который его порождает, от бесконечной серии актов счета, от которых, будучи неразличимыми в других отношениях, память отказывается сохранять отдельный след. Иными словами, любой акт счета, когда он берется как подсчитанная единица, ipso facto отождествляется с той частью непрерывного потока времени, для подсчета которой он служит и из места которой в потоке времени он извлекает свою ценность как количество.
Мы возвращаемся, таким образом, в последней инстанции к числам, и в первую очередь к ряду целых чисел Integers, как основе всей науки исчисления, а через исчисление и измерения, – поскольку не может быть измерения одной вещи другой, без предварительного различения двух вещей от одной, то есть без счета. Но, как мы видели, все Числа являются континуумами; то есть, их нельзя отличить одно от другого иначе, как воспринимая их как непрерывные части одного и того же континуума, которые становятся дискретными одно от другого только благодаря абстрактному акту счета, то есть, идеального деления (не занимая) этого континуума. Дискретное количество – это непрерывное количество, разбитое или рассматриваемое как разбитое на более мелкие
континуумы, процесс, для которого не существует поддающегося определению предела. Число само по себе является дискретной величиной в этом смысле. Я думаю, что избежать этого вывода невозможно, если только мы не предположим, что Абсолютный Логос того или иного рода создает себя и вселенную посредством некоего имманентного псевдодействия и повторного действия между логическими принципами тождества и противоречия, – идея, которая была бы странной, если бы была истинной, а также непонятной, будь она истинной или нет. В то же время необходимо помнить о нескольких вещах. Во-первых, при формировании любого ряда или системы чисел абстрагируются от конкретной природы континуума, частью которого они являются. Мы видели, что Время, как факт, является единственным континуумом, который необходим для процесса счета. Но знание этого факта не входит в природу числа, рассматриваемого ни как средство, ни как объект исчисления. Время не является объектом, измеряемым простой последовательностью актов счета, интервалы между которыми совершенно произвольны в том, что касается их продолжительности. Точно так же психологический акт целенаправленного внимания к содержанию сознания необходим для счета, а значит, и для числа. Но этот акт по своему психологическому характеру лежит полностью вне процесса-содержания счета как такового. Его длительность как психологического акта вообще не подвергается сомнению. Если время или акт внимания становятся объектом измерения или подсчета, то это должно происходить путем их предварительной объективации как особого объекта среди других. Число, короче говоря, хотя и возникает исключительно из идеального деления континуума посредством психологического акта, имеющего длительность, не является измерением ни континуума, ни акта. Однако есть объект, который оно измеряет, а значит, есть смысл, и самый существенный для него, в котором оно является измерением; объект, который оно создает, есть объект, который оно измеряет, а именно само число, посредством первого результата его фундаментального и вечно повторяющегося акта, акта счета, этим первым результатом является Единство, или число Один. Число (как общий термин) означает количество единиц. Иными словами, эталоном измерения во всех вычислениях является Единство, то есть то определение, в котором акт счета и его результат совпадают. Именно это обстоятельство придает исчислению его специфический характер среди всех других способов или наук об измерении.
Рассмотрим подробнее, как это может быть. Идеально разделяя временной континуум первым актом счета, мы смотрим назад на часть этого континуума, которая не определена в отношении его начала, и вперед на другую его часть, которая не определена в отношении его конца. Во втором акте счета мы определяем конец этой последней части, оглядываемся на нее в ретроспективе как на часть, начало которой уже определено первым актом счета, и переходим к другой части, конец которой еще не определен. В третьем акте подсчета повторяется тот же процесс, и так до тех пор, пока мы можем продолжать считать. Таким образом, продвигаясь вперед, мы продолжаем откладывать в памяти серию актов счета, каждый из которых определяет конец одной части временного континуума и начало другой, при этом сам континуум в остальном остается нерасчлененным, то есть не определенным в отношении продолжительности любой его части, кроме последовательных актов счета, которые могут происходить через совершенно произвольные и переменные интервалы.
Но в то же время нельзя избежать и обойтись без восприятия самого временного континуума. Ведь если бы не было воспринимаемого интервала между последовательными актами счета, они не могли бы восприниматься как несколько или последовательные; не было бы возможности вспомнить или записать первый акт при выполнении второго, второй – при выполнении третьего и так далее. Таким образом, временные интервалы необходимы для последовательности актов счета, то есть для числа, и все же не существует меры длины этих интервалов, кроме как запомненного или записанного количества раз, в течение которых были выполнены последовательные акты счета. Следовательно, интервал или разница между актами счета, то есть между последовательными числами, 1, 2, 3 и т. д. (а также каждое увеличение числа самих актов), измеряется 1. Или, другими словами, числовое Единство, чистое Число, является мерой интервала или разницы между 2 и 1, между 3 и 2, между 4 и 3, и так далее. Поэтому, когда мы объективируем Число в его истоках, или в его низших и простейших терминах, как результат повторяющихся актов счета, мы должны рассматривать его, как и само Время, как непрерывно растущее количество, последовательные приращения которого отмечаются и записываются только цифрами или символами, выражающими число единичных актов счета, которые пошли на их дискриминацию, в которой каждое единичное приращение обязательно соответствует одному акту счета, и поэтому обязательно равно каждому другому. Ибо тогда перед нами открываются два пути, одинаково законных и одинаково необходимых, чтобы объективировать его. Если в первом случае мы объективируем несколько актов счета как таковых, то получим ряд: 1. 2. 3. 4. и т. д., тогда как, если мы объективируем этот же ряд чисел вместе с континуумом, который они разделяют, мы получаем ряд интервалов, в котором те же самые цифры или символы представляют интервалы между отдельными актами счета и в котором мы мысленно поставляем начальную точку 0, расстояние или различие которой от первого акта счета определяется единством, то есть тем же самым расстоянием или различием, которое имеет место между всеми несколькими последующими актами счета. Каждый интервал сам по себе является числом и ничем иным, а именно числом один. В результате первоначальный временной континуум, различаемый актами идеального деления, превращается в чисто числовой континуум, то есть в континуум, в котором нет интервалов (а есть только идеальное деление) между несколькими дискретными частями, называемыми числами, из которых он состоит. И в дальнейшем для целей вычисления Числа заменяют и подменяют этот временной континуум и его идеальное деление актами целенаправленного внимания, которые являются матрицей, из которой они первоначально возникают.
Отныне числа предстают или могут предстать как нематериальные сущности, обладающие независимым или исключительно самозависимым бытием, со своими собственными свойствами и законами, связывающими их друг с другом, как если бы они были обитателями некой трансцендентной области, sui generis, далекой от обычных явлений пространственной фигуры, движения и материи; в то же время, будучи применимыми к измерению и вычислению этих явлений, они, по-видимому, вносят трансцендентный или чисто априорный элемент в науки, которые их рассматривают, а именно, в чистую геометрию и физические науки. С этой точки зрения можно сделать Числа объектом многих квазинаучных суеверий. В действительности же они обязаны как своей собственной природой, так и применимостью в геометрии и физических науках тому факту, что они берут свое начало в идеальном разделении временного континуума актами целенаправленного внимания. Воспринимаемый факт вечно делимой, но никогда не разделимой непрерывности, которой они обязаны своим происхождением, не утрачивается, а лишь трансформируется, когда они сами воспринимаются как образующие числовой, то есть дискретный, но неразделимый континуум единиц; в котором каждая единица, будучи сама континуумом, снова идеально делима на меньшие континуумы, или континуумы более низкого порядка по сравнению с исходным рядом целых чисел, а те снова на континуумы еще более низкого порядка, и так далее без заданного предела.
Теперь мы видим метафизическое обоснование тех элементарных утверждений о числе, с которых обычно начинаются арифметические трактаты. Я беру следующее из «Универсальной арифметики» Ньютона, «In usum Juventutis Academicoe»:
«Под числом мы понимаем не столько множество единств, сколько абстрактную пропорцию любого количества чего бы то ни было к другому количеству того же рода, которое принимается за единство. Число бывает трех видов: целое, дробное и избыточное. Целое число – это то, мерой которого является единица. Дробь – это число, мерой которого является подмногочисленная часть единства. Дробь – это то, что не может быть измерено единицей».[8 - Arithmetica Universalis. Cantab. 1707- p. 2.– «Per Numerum non tam multi tudinem uni tat um quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitatem quae pro unitate habetur rationem intelligimus. Estque triplex; integer, fractus et surdus: Integer quem unitas metitur, fractus quem unitatis pars submultiplex metitur, ct surdus cui unitas est incommensurabilis.» Мне говорили, что наиболее продвинутые математики современности перестали рассматривать число как количество и больше не принимают концепцию Ньютона, изложенную в этом отрывке. Конечно, математики могут определять число любым способом, который они считают наиболее подходящим для требований своей науки. И все же я должен сказать, что, рассматривая число с точки зрения его происхождения в реальном опыте и места, которое оно занимает в этом опыте в целом, я не вижу, как оно может быть отнесено в конечном итоге к какой-либо другой концепции, кроме концепции количества, которая охватывает все возможные виды сравнительной величины, если только мы не считаем его чистым творением некой чисто абстрактной мыслящей силы, ипостазированной как агент по предположению, и в этом случае его, несомненно, можно считать качеством, а именно качеством мысли этой предполагаемой мыслящей силы. Но это означало бы подмену предположения опытом. Во всех утверждениях Ньютона об элементарных истинах, насколько я могу претендовать на знакомство с ними, я, как мне кажется, распознаю разум, который не только принимает опыт в качестве своего руководства, но и держит в поле зрения отношения, которые та часть опыта, которую он в любой момент рассматривает, несет к другим частям и к целому. Это обстоятельство делает его труды бесценными для метафизика.]
Здесь можно задать вопрос, как, отбросив дроби, можно представить себе какое-либо число, не измеряемое единицей. Ответ, по-видимому, заключается в том, что Ньютон имеет здесь в виду числа, которые названы только общими терминами, то есть названы как воображаемые результаты, не осуществимые в действительности определенных процессов вычисления, которые, если предположить (jper impossibile), что они могут быть доведены до конца, дали бы определенные числа, соизмеримые с единством, как их результат. Теперь, поскольку алгебра – это та ветвь всей науки вычислений, которая основана на обобщении арифметических чисел и процессов, – каждое обобщение выражается некоторым символом, позволяющим использовать его в вычислениях, как если бы это было конкретное число или конкретный вид процесса, – а Ньютон рассматривает здесь элементы арифметики и алгебры в сочетании, мы должны предположить, что он имеет в виду главным образом алгебру, когда называет сурды третьим из трех высших видов, на которые делится все число.
Корни возникают в алгебре в процессе извлечения так называемых корней из чисел, которые таким образом ipso facto рассматриваются как силы; и корни, и силы используются в алгебре как общие термины для обозначения предполагаемых результатов определенных процессов вычислений. Под силами числа понимаются числовые результаты, которые получаются при умножении этого числа на само себя любое заданное число раз, например, 2 x 2 = 4; 4 x 2 = 8; 8 x 2 = 16 и так далее; где 4 – это вторая сила (или квадрат) 2, записываемая как 2
; 8 – это третья сила (или куб), записываемая как 2
; 16 – это четвертая сила, записываемая как 2
. Обратный этому процесс – извлечение корня. Он состоит в том, чтобы найти, какое число, умноженное определенное количество раз на само себя, даст то число, квадратный, кубический, четвертый, пятый и т. д. корень которого требуется. Но здесь возникает трудность, обусловленная, как обычно бывает в таких случаях, предположением, а именно предположением, что каждое данное число – это сила. Ибо, хотя нам нетрудно возвести любое данное число в любую заданную силу путем умножения, из этого отнюдь не следует, что мы можем довести до конца обратный процесс извлечения корня из любого данного числа. Это обязательно следует только в случае тех чисел, которые ранее были достигнуты прямым процессом. Мысль о том, что все данные числа являются производными от корней, а также просто числами, возникла в результате обобщения успешных примеров извлечения корней и, следовательно, ожидания успеха в тех случаях, когда в действительности можно получить лишь воображаемые результаты. То, что эти два процесса обратны друг другу по виду, не означает, что они одинаково применимы к любому данному числу.
Поэтому во всех случаях извлечения корня, когда данное число, корень из которого требуется извлечь, не является заведомо целым, перед нами не простой процесс вычисления, а проблема, проблема, заключающаяся в том, чтобы найти, имеет ли данное число корень или нет. Из того, что в задаче предлагается найти корень из данного числа, не следует, что искомый корень может быть найден. Например, «число точных квадратов бесконечно; но в любых заданных пределах существует гораздо больше чисел, не имеющих точных квадратных корней, чем точных квадратов»[9 - Arithmetic for the Use of Schools, By A, Sonnenschein and H. A. Nesbitt. London, 1870. Part III., p. 216.].
А в алгебре, цитируя другого авторитета, «когда корень из алгебраической величины, которая требуется, не может быть точно получен, он называется иррациональным или перенасыщенным количеством. Таким образом, ?a2 или a2/3 называется прибавочной величиной».[10 - Todhunter’s Algebra. Fifth Edition, 1870, p. 157.]
Переходя ко второй и, безусловно, наиболее обширной и важной ветви всей науки исчисления, а именно к алгебре, используя этот термин в самом широком смысле, мы находим первый параграф «Универсальной арифметики» Ньютона следующим образом:
«Вычисления производятся либо с помощью чисел, как в обычной арифметике, либо с помощью символов с общим значением (видов), как это практикуется аналитиками. Каждый вид опирается на одни и те же основания и стремится к одной и той же цели; Арифметика – определенно и конкретно, Алгебра – неопределенно и универсально. Таким образом, в широком смысле все формулировки, используемые в алгебраических вычислениях, и особенно их выводы, можно назвать теоремами. Но главное достоинство алгебры состоит в том, что в то время как вопросы арифметики решаются только путем перехода от заданных величин к искомым, алгебра по большей части идет от искомых величин, взятых как если бы они были заданными, к заданным величинам, взятым как если бы они были искомыми; чтобы прийти, во что бы то ни стало, к некоторому выводу или уравнению, из которого может быть получено искомое количество. Таким образом решаются самые сложные задачи, решение которых тщетно пыталась бы найти только Арифметика. Тем не менее, Арифметика настолько подчиняет себе Алгебру во всех ее операциях, что обе они вместе составляют единую совершенную Науку вычислений; по этой причине я предлагаю излагать обе эти науки вместе».[11 - Цитируемая работа, стр. 1 – «Computatio vel fit per numeros ut in vulgari Arithmetica vel per species ut Analystis mos est. Utraque tisdem innititur fundamentis, et ad eandem metam collimat: Arithmetica quidem definite et particulariter, Algebraica autem indefinite et universaliter; ita et enuntiata fere omnia quae in hac computatione habentur,. et praesertim conclusiones, Theoremata dici possint. Verum Algebra maxime praecellit quod cum in Arithmetica Quaes tiones tantum resolvantur progrediendo a datis ad quaesitas quantitates, haec a quaesitis tanquam datis ad datas tanquam quaesitas quantitates plerumque regreditur; ut ad conclusionem aliquam, seu PEquationem, quocunque demum modo perveniatur,, ex qua quantitatem quaesitam elicere liceat. Eoque pacto conficiuntur difficillima Problemata quorum resolutiones ex Arithmetica sola frustra peterentur. Arithmetica tamen Algebrae in omnibus ej us opcrationibus ita subservit, ut non nisi unicam perfectam com- putandi Scientiam constituere videantur; et utramque propterea conjunctim explicabo. "– Здесь мы снова находим не менее авторитетного человека, чем Огюст Комт, обвиняющего Ньютона в определении алгебры как универсальной арифметики, на том основании, что это дает очень ложное представление о реальном соотношении между двумя науками, которое сам Ньютон был бы одним из первых, кто отверг бы его в настоящее время. {Курс философского позитивизма. Quatrieme Lecon. Vol. I., p. 135. Издание Литтре, 1864). Различие между ними, проведенное самим Комтом, кратко резюмируется словами: «Алгебра – это вычисление функций, а варифметика – вычисление величин» (ibid. p. 134). Но, ни на минуту не отрицая универсальности чистой арифметики, которая является одновременно основой и конечной целью всех вычислений, я все же не могу не думать, что различие метода (a queesitis tanquam datis ad datas tanquam queesitas quantitates), отмеченное Ньютоном как характерное для алгебры, дает более ясное представление о положении, которое эти две области соответственно занимают по отношению к процессам обычного логического мышления. Различие Ньютона особенно ценно тем, что оно демонстрирует методы арифметики и алгебры _ в этой связи, то есть в свете их общего отношения к мышлению в целом. То, что это различие реально, что обратный метод алгебры действительно является обобщением, а также инверсией метода арифметики, надеюсь, станет очевидным по мере нашего дальнейшего изложения. —]
В этом отрывке есть несколько моментов, которые, кажется, требуют разъяснения. Термин «виды» я перефразировал, а не перевел как «символы, имеющие общее значение»; общее – это термин обычного логического мышления, который наиболее точно соответствует тому, что в чисто количественном мышлении выражается неопределенным. Значение видов в настоящее время дано самим Ньютоном как эквивалент букв, используемых для обозначения количеств, которые либо неизвестны, либо считаются неопределенными. «Когда количество чего-либо неизвестно или считается неопределенным {indeterminate spectatur), так что оно не может быть выражено числами (ita lit per numeros non liceat exprimere), мы имеем обыкновение обозначать его каким-либо видом или буквой (speciem aliquant seu literam). А если мы считаем известные величины неопределенными, то для определенности обозначаем их начальными буквами алфавита, a, b, c, d, а неизвестные величины – его конечными буквами, z, y, x и т. д.[12 - Work cited, p. 3.]
И снова, на стр. 6, a, b и x даны как примеры видов, а ab и abx – как выражения для процесса их умножения друг на друга. Таким образом, два различных вида величин, как и те, которые выражаются просто арифметическими числами, могут рассматриваться совместно с помощью этих двух классов алгебраических символов.
Из этого мы видим, что, по крайней мере, должно подразумеваться под краткими выражениями proceeding a qucesitis tanquam datis и ad datas tanquam qucesitas quantitates. Мы исходим «из искомых величин, как если бы они были величинами данными», когда обозначаем их буквами, которые можем использовать в качестве элементов в процессах вычисления, как если бы они были известными числами; это возможно только потому, что они косвенно даны посредством тех их отношений к другим числам или величинам, которыми они описываются в задачах, касающихся их, и без которых мы не имели бы о них никакого представления. Символы x, y, z и т. д. – это общие термины, описывающие любое число, которое отвечает заданному описанию или принадлежит к заданному классу, и которое, следовательно, в пределах этого класса может быть определено в неограниченном диапазоне. Символы a, b, c, d и т. д. также являются общими терминами, применимыми к классам, но ограничены для обозначения некоторой минимальной величины, которая не меняется в процессе вычисления, хотя конкретная величина остается неопределенной. Неизвестные величины первого класса называются переменными, второго – константами. Именно из соотношений, заданных таким общим образом, и нужно выявить искомые числа или величины. И при этом мы ipso facto переходим «к заданным величинам, как если бы они были искомыми величинами», а именно, когда мы выражаем действительно заданные отношения как результат вычислений, в которых используются буквы, обозначающие неизвестные квезиты.
Данные отношения, о которых мы говорим, между числами или количествами, которые сами по себе не даны, а искомы, отношения, которые подразумеваются в значении букв, обозначающих эти искомые количества, являются в исчислении тем же, чем являются обобщения или общие описания в обычном мышлении, наукой о котором является логика. Они соответствуют тому, что в логике называется «вторыми намерениями», а арифметические числа – ее «первым намерениям». Как если бы в обычном логическом мышлении нам дали отношения, выражаемые сложным общим термином «разумный бесперый двуногий» (для простоты используем старый пример), и потребовали найти индивидуальное существо, соответствующее описанию, а именно человека. Или, опять же, как если бы был дан термин «разумный бесперый четвероногий»; в этом случае требуемое индивидуальное существо, соответствующее описанию, если предположить, что его не удастся найти, будет аналогично либо нулю, либо избыточному или невозможному количеству в числах, количеству, называемому воображаемым, потому что оно не мыслимо, то есть не реализуемо в мысли, но продолжает быть выражением для процесса, неспособного быть доведенным до точного завершения.
Такие процессы от общих понятий к частным случаям плодотворны в чистой математической мысли, потому что ex hypothesi она имеет дело только с чистым количеством, дискретным или непрерывным, а не с какими бы то ни было общими понятиями, которые могут быть порождены воображением intellectus sibi permissus. Ее методы, ограниченные этим объектом-материей, позволяют отличить истинное от ложного, мыслимое от немыслимого. Чистая математика, как и все точные науки, необходимой основой которых она является, имеет дело с объектами (используя этот термин в самом широком смысле) лишь постольку, поскольку они либо поддаются измерению, либо могут быть проверены с точки зрения измеримости. Мы уже видели, что арифметика рассматривает числа как целостные и независимые объекты, имеющие различные значения по отношению друг к другу, как если бы они были множеством атомов, молекул или масс материи, принадлежащих к различным видам химических веществ. Хотя они являются продуктами мысли вне восприятия, но, как мы видели, мысль немедленно возвращает их в перцептивный порядок, представляя каждое число как логически единичное и индивидуальное существо. Более сложные или сложные законы их комбинаций должны быть открыты, как и в случае с реальной материей, путем дальнейших упражнений мысли, то есть концепции и рассуждения. И этим дальнейшим упражнением в случае арифметических чисел, которые являются Реальностями вычисления, является Алгебра, метод, который является обобщением арифметического метода, выводящим явно все то, что в арифметике подразумевается, но не развивается.
Ибо если алгебра обобщает числа или величины арифметики так, как мы только что видели, то она неизбежно приводит к обобщению, или, скорее, расширению применения своих процессов, аналогичным образом. Так, например, он делает, когда использует скобки или vincula для обозначения того, что сложная величина, которую он мог создать для себя из условий какой-либо задачи и значение которой он оставил численно неопределенным, должна рассматриваться как составная, хотя и единая величина; то есть величина, при алгебраическом решении которой, до решения уравнения, в котором она стоит, должен быть учтен каждый отдельный компонент. Например, в выражении (a + b)
заключение a + b в скобки со знаком возведения во вторую (или квадратную) степень указывает на то, что каждый из его компонентов, взятый отдельно, должен быть умножен один раз на себя и один раз на другой компонент; таким образом, мы получаем эквивалентность,
(a + b)
= a
+2ab + b
, что облегчает устранение одного или нескольких коэффициентов с помощью их уравновешивающих эквивалентов на противоположной стороне уравнения.
И снова обычные процессы арифметики обобщаются в алгебре, используя (1) знаки «+» и «-» как знаки процессов, способствующих некоторому конечному результату, независимо от того, существуют ли реальные величины, которые нужно сложить в одном случае, или из которых можно вычесть в другом, и (2) используя знаки «x» и «?», знаки умножения и деления, таким же образом. Кроме того, изложены правила использования обеих пар знаков, сначала + и -, а затем x и ?, в применении к + и – величинам. Последние правила вкратце гласят, что + величины, умноженные или деленные на + величины, и – величины, умноженные или деленные на – величины, одинаково дают + величины; и что + величины, умноженные или деленные на – величины (или наоборот), одинаково дают – величины. Причина этих последних правил станет очевидной, если мы рассмотрим необходимость при вычислениях с помощью переменных и неопределенных величин оставлять неопределенными результаты процессов, обозначаемых этими и подобными знаками (например, для потенцирования и ротоэкстракции), пока они не будут рассматриваться как части, которые вместе составляют все данные вычисления. Ибо эта необходимость ведет непосредственно к тому, что является, возможно, самым фундаментальным обобщением во всей алгебре, которое подразумевается во всех ее процессах и в форме, которую принимают все ее суждения, а именно к форме уравнения. Я имею в виду общую концепцию отрицательных величин, то есть величин, которые меньше, чем ничто, и именно настолько меньше, чем ничто, насколько выше фигуры, которые их выражают. Символ 0, или ноль, мыслится как стоящий посередине между двумя бесконечно большими классами чисел, один из которых содержит все положительные числа, или числа больше нуля, выраженные цифрой 4-, а другой – все отрицательные числа, или числа меньше нуля, выраженные цифрой – И к тому или другому из этих противоположных классов должно принадлежать каждое количество, отличное от нуля. Таким образом, в одном смысле нулевое значение 0, стоящее между положительными величинами с одной стороны и отрицательными с другой, занимает положение, аналогичное и подразумеваемое тем, которое занимает знак равенства = между любыми двумя величинами, отличными от 0, независимо от их места в этих классах; так как такие величины равны только тогда, когда при вычитании одной из них из другой получается 0, то есть когда между ними нет количественной разницы.
Теперь правила знаков, указанные выше для умножения и деления алгебраических величин, а именно, что подобные знаки дают +, а непохожие – -, можно рассматривать как правила, влияющие на них просто как на операции, определяющие, принадлежат ли их результаты (которые являются произведениями в одном случае, кванторами в другом) к положительному классу чисел, записанных справа, или к отрицательному классу чисел, записанных слева, от 0. Я имею в виду, что сами величины имеют знаки + или – до того, как мы их умножим или разделим, и что эти знаки должны быть отличны от тех, которые будут иметь их результаты, когда эти операции будут выполнены. Знаки этих результатов мы и хотим узнать, не выполняя операций, на которые они направлены, чтобы составить уравнения, из которых только и можно узнать числовое значение самих результатов. Вопрос заключается в том, какие знаки должны иметь величины, подлежащие умножению или делению одна на другую, до выполнения этих операций, чтобы результаты этих операций над ними были отнесены соответственно либо к положительным, либо к отрицательным величинам.
Сначала об умножении. В операции умножения одного количества + на другое количество + мы делаем следующее: считаем множимое столько раз, сколько единиц имеет множитель. Если оба количества положительны, то результат операции может быть только положительным.
Если же множимое или множитель отрицательны, то при положительном значении другой величины операция с ее результатом будет отрицательной. Ибо предположим, что множитель отрицательный, скажем -6, а множитель положительный, скажем +3. Тогда знак множителя является знаком операции, то есть мы имеем положительный счет от – 6 три раза. Ничто не меняет знак числа 6. Следовательно, результат получается отрицательным, -18. Во-вторых, предположим, что множитель отрицательный, и нам нужно, скажем, умножить +6 на – 3. Операция здесь отрицательная, это операция счета. Но что значит посчитать 6 раз на – 3? Рассмотрим это следующим образом. Если бы мы посчитали 6 один раз, то есть умножили на 1, то в результате получилось бы 6. Если бы мы сказали, что не считаем 6, то есть умножили бы его на 0, результат был бы 0. Если бы мы считали его один раз реже, чем 0, мы должны были бы умножить его на – 1, и результат был бы -6. Аналогично умножить его на – 3 – значит предположить, что его считают в 3 раза реже, чем 0, то есть сделать t-18.
Таким образом, в обоих случаях умножения величин с непохожими знаками результат имеет отрицательный знак или -.
И наконец, предположим, что мы умножаем два отрицательных или – количества, знаки которых одинаковы, но отрицательны. Это означает, что мы должны либо считать, скажем, – 6 за – 3 раза, либо – 3 за – 6 раз. Мы только что видели, что значит считать по – раз. В данном случае нам остается только повторить те же рассуждения; и здесь не имеет значения, какой фактор берется в качестве множителя, а какой – в качестве множимого. Скажем, нам нужно умножить – 6 на – 3, или сосчитать – 6 за – 3 раза. Теперь не считать – 6 вообще, то есть умножить его на 0, значит довести его до 0, от того, что он на 6 меньше 0; мы просто, как бы, уничтожаем долг. Считать его за – 1 раз – значит довести его до +6; за – 2 раза – до +12; за – 3 раза – до +18. Следовательно, результат, полученный при умножении двух отрицательных или – количеств, имеет знак +, как и при умножении двух 4- количеств.
Что касается деления, то здесь действует то же правило. Результат будет положительным, если знаки делимого и делителя совпадают, и отрицательным, если они не совпадают. Делитель здесь является действующим элементом, как и множитель при умножении, с той лишь разницей, что если множитель выражает, сколько раз нужно сосчитать количество, то делитель выражает, на сколько равных частей нужно разделить количество, или, что то же самое, сколько раз нужно сосчитать одну из этих частей, чтобы привести ее к равенству с целым. Делимое на делитель дает делитель; и наоборот, делимое, умноженное на делитель, дает делитель.
Здесь, во-первых, очевидно, что процесс деления количества + на количество + никогда не может дать ничего, кроме количества +, независимо от того, что мы берем в качестве делителя.
Во-вторых, если предположить, что делимое – величина, а делитель – величина +, то делитель должен быть величиной -, чтобы при умножении на делитель он, в соответствии с правилом умножения, был равен делимому.
Аналогично, если предположить, что делимое – это + количество, а делитель – количество, то и в этом случае делитель должен быть – количеством, чтобы, согласно тому же правилу умножения, он был равен делимому, когда умножается на делитель.
Таким образом, в обоих этих случаях два количества с разными знаками, разделенные одно на другое, дают в качестве своих коэффициентов количества -.
Наконец, если мы делим -количество на -количество, в зависимости от того, что мы берем в качестве делителя, то и здесь, как в случае с +количеством, делитель должен быть 4-количеством, чтобы, по тому же правилу умножения, при умножении на -делитель он был равен -делителю.
Все это, я полагаю, не более чем явное подчеркивание того, что имеется в виду, когда в оправдание правила знака при алгебраическом делении коротко говорят: «Это правило следует из того, что произведение делимого и делителя должно быть равно делителю».[13 - Todhunter’s Algebra, 5th ed., 1870, Art. 94, p. 41,]
Обоснование правила знака при умножении – действительно важный момент.
Именно в силу необходимой гармонии с этим высшим обобщением отрицательных величин та форма высказывания, которую алгебра выбирает в качестве той, в которую она переводит все общие результаты, из которых можно вывести решение конкретных случаев, а также все выкладки, которые к ним приводят, – я имею в виду форму уравнения, – сама является высшим примером обобщения процессов, или операций с числами или величинами. Демонстрация равенств является суммой и содержанием всех точных измерений. В конкретном объекте вычислений, которым является число или количество, утверждение равенства, выражением которого является знак =, занимает место копулы в утвердительных суждениях логического мышления в целом. Оно говорит гораздо больше, чем простая копула is, а именно то, что два числа или количества, между которыми оно стоит или которые оно уравнивает, являются в количественном отношении конвертируемыми. Отсюда следует, что уравнение – это логически обратимое суждение, или два простых логических суждения, A есть B и B есть A, в одном; это стало возможным благодаря ограничению предмета уравнения только количеством или числом. Отрицание равенства, если таковое имеется между рассматриваемыми величинами или числами, затем отбрасывается, не как в просто отрицательных логических суждениях, в копулу is-not, как в A не B, а в один или оба термина уравнения, как в
a + x = b, где x обозначает разницу, какой бы она ни была, между b и a; это уравнение можно также выразить как x = b – a, или снова как a – b + x = 0.
Алгебра, таким образом, может быть названа, по аналогии, логикой чистого числа или количества, причем знак = принимается в качестве копулы всех ее суждений или выкладок.
Переходя от уравнений как общих формул к их интерпретации в конкретных случаях, я взял следующее из примеров «замены цифр буквами», приведенных в статье «Алгебра» в Британской энциклопедии; отчасти потому, что оно показывает, как в алгебре используются символы, обозначающие ничто, 0, называемый нулем, и бесконечность, co, :
«Если a = ?, b = ?, c = ?, x = 0, то найдите значение
a
– b
/x – b
– c
/x
Первый член бесконечен, а второй бесконечно больше первого, так как x
= x * x. Ответ: -?».[14 - Encyc. Brit. Ninth Edition, 1875. Vol I. p. 519.]
Нуль, или 0, и бесконечность, или ?, используются здесь точно так же, как если бы они были реальными величинами. Логическое обоснование этого, как я полагаю, двояко: (1) в вычислениях мы всегда, по предположению, имеем дело с количеством или числом, и никогда – с чем-то, что не является количеством или не числом, и (2) место, в котором или точка, в которой появляется количество или число, в вычислительных операциях всегда определяет его значение. Теперь ноль, или 0, – это место или точка посередине между положительными, или +, и отрицательными, или -, величинами. Как алгебраическая величина он больше любого минуса или отрицательного значения. Аналогично с бесконечными величинами, или ?. Одна из них может быть больше или меньше другой, в зависимости от места, которое они соответственно занимают в вычислениях, с помощью которых к ним приходят. Обоснованность этого утверждения основывается на двойном характере, отмеченном выше, как присущем всем числам, (1) как акту счета, (2) как единице или группе единиц, которые подсчитываются. Ноль, как подсчитанное количество, означает отсутствие числового содержания в определенном месте, полученном при вычислении, то есть в серии актов счета, как, например, при вычитании (скажем) 9 из 9; бесконечность, как подсчитанное количество, положительное или отрицательное, означает наличие числового содержания, превышающего любое поддающееся определению содержание, в определенном месте, полученном аналогичным образом, как, например, при умножении 0 на 0 (x на x) в приведенном выше примере.
Поэтому нуль в числе и нуль количества в континуумах, одинаково обозначаемые 0, следует тщательно отличать от логического отрицания или противоречия числа или количества, как способов восприятия вообще. Реальное существование чисел или величин в смысле мест или точек в серии актов счета и, следовательно, их возможное существование в виде содержания, находящегося в этих местах или на них, обеспечивается самим актом счета или вычисления, поскольку он неотделим от него. Точно так же алгебраическую концепцию бесконечности, или оо, как способной к степеням сверх степеней, к которой приходят путем вычисления, следует тщательно отличать от той бесконечности, которая относится к определенным способам количества (хотя и не к числу) как способам восприятия вообще; я имею в виду время и пространство, поскольку они являются сущностями восприятия.
Способны ли такие алгебраические значения бесконечности быть интерпретированы как применимые к реальному миру – это другой вопрос. То обобщение арифметических процессов, которое мы называем алгеброй, несет в себе, просто как обобщение, обязанность увидеть, применимы ли и каким образом его результаты к перцептивным явлениям. Сами по себе они не являются гарантией перцептивной реальности, в той же мере, что и представления о гиппогрифах или химерах в обычном логическом мышлении. И это верно даже тогда, когда явления, которые они интерпретируют, имеют такой абстрактный вид, как деления чистого времени и длительности или геометрические конфигурации чистого или пустого пространства. Их следует рассматривать как объекты-вещи, в которых понятия чисто алгебраического исчисления могут находить или не находить образцы. В этом отношении обобщенные понятия и процессы алгебры отличаются от понятий и процессов арифметики, развитием которой они являются. Ибо, снова цитируя статью об алгебре в Британской энциклопедии, «все операции арифметики могут быть непосредственно интерпретированы сами по себе, в то время как операции алгебры во многих случаях могут быть интерпретированы только путем сравнения с предположениями, на которых они основаны». (Vol. I., p. 511.) " Теория уравнений», – читаем мы в той же статье, – «может быть названа собственно алгеброй» (стр. 515). Но поскольку работа с неизвестными и переменными величинами и отношениями величин (выраженными с помощью символов) является общей и существенной чертой в методах всех высших отраслей вычислений, все они в совершенно определенном смысле могут быть названы высшими отраслями алгебры и включены в нее. Я беру общие главы, под которые попадают эти ветви, из статьи об анализе в Chambers’ Encyclo- ptedia: «Математический анализ, в современном понимании этого термина, – это метод рассмотрения всех величин как неизвестных чисел и представления их для этой цели символами, например буквами, причем отношения, существующие между ними, могут быть таким образом установлены и подвергнуты дальнейшему исследованию. Таким образом, это то же самое, что и алгебра в самом широком смысле этого слова, хотя термин «алгебра» более строго ограничен тем, что относится к уравнениям, и, таким образом, обозначает только первую часть анализа. Вторая часть анализа, или анализ, называемый более строго, делится на анализ конечных величин и анализ бесконечных величин. К первому, называемому также теорией функций, относятся такие предметы, как ряды, логарифмы, кривые и т. д. Анализ бесконечных величин включает в себя дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и вариационное исчисление».[15 - Chambers’ Encyclopaedia. Edition of 1888. Vol. I., p. 248.]
Теория уравнений, теория функций и анализ бесконечно малых, таким образом, являются основными главами, под которыми могут быть распределены все ветви, низшие и высшие, алгебры в широком смысле этого слова. Я процитировал вышеприведенный отрывок лишь для того, чтобы дать краткий обзор областей, охватываемых наукой исчисления в целом. Было бы совершенно нецелесообразно пытаться перечислить или каким-либо образом приступить к рассмотрению различных разделов и подразделов, содержащихся в нем. Тем не менее, прежде чем оставить эту тему, необходимо сказать несколько слов об анализе бесконечно малых или бесконечно малом исчислении, поскольку концепция пределов, на которой оно основано, проливает свет на изначальную и существенную природу числа, из которой оно, по сути, является непосредственным и необходимым следствием.
Инфинитезимальное исчисление имеет дело с величинами, которые являются функциями одна от другой, то есть с величинами, которые так связаны между собой, что изменение одной из них влечет за собой соответствующее изменение в другой. Ее цель состоит в том, чтобы, вводя сначала в одну, затем в другую переменную величину, связанную таким образом, которые входят в постановку любой данной проблемы, произвести ряд изменений, которые, поскольку они могут быть сделаны бесконечно малыми, и, следовательно, бесконечно многочисленными, будут нести с собой соответствующие изменения в других, или зависимых, переменных, достаточные для того, чтобы охватить и, в мыслях, учесть все содержание любого мыслимого периода времени или конфигурации пространства, включая все возможные относительные изменения в их частях. При таком методе получаются результаты, которые при последующем применении к явлениям природы адекватно выражают и даже предвосхищают путем вычислений любые отношения или изменения отношений, которые могут существовать или происходить в физическом мире материи и силы, – массы, объемы, движения, скорости, степени интенсивности, энергии и так далее, – словом, все, что угодно, насколько это может быть подведено под понятие количества, то есть насколько это связано с временными и пространственными отношениями.
С изменениями качества физических веществ или сил, как, например, с химическими сочетаниями и сродствами, исчисление имеет дело лишь постольку, поскольку можно показать, что возникновение таких качественных изменений зависит от изменений, которые выражаются в терминах временных и пространственных отношений и поэтому могут быть определены количественно. Калькуляция может быть вкратце описана как Органон для охвата всего поля чисто количественных отношений явлений, так же как Логика Аристотеля является Органоном для охвата всего поля явлений, которые являются случаями различия между Тождеством и Различием, то есть всех явлений вообще.
Теперь факт опыта, который используется в качестве средства и принципа метода для установления и работы этого Органона количества, есть не что иное, как тот, который, как мы видели, действует при возникновении числа и исчисления как таковых. Я имею в виду разделение временного континуума актом целенаправленного внимания, идеальное разделение, которое не занимает никакой части того континуума, в который оно внедряется. Разница лишь в том, что в случае исчисления деление производится на континуумы любого вида и с полным сознанием двух существенных обстоятельств: (1) что делимый континуум является предпосылкой идеального деления его, и (2) что идеальное деление не занимает никакой части этого континуума, но всегда оставляет меньший континуум, способный к еще большему идеальному делению, как бы часто ни повторялся процесс деления. Быть континуумом и быть способным к идеальному делению – это одно и то же.
Пределы, установленные бесконечно малым исчислением (в его дифференциальной ветви) при работе с переменными функциями для целей своих вычислений, являются делениями такого рода. Недавний авторитет дал им следующее определение. «Если существует фиксированная величина, которой переменная величина может быть почти равна, и если невозможно, чтобы переменная величина когда-либо была точно равна этой фиксированной величине, то фиксированная величина называется пределом переменной величины».[16 - Chambers’s Encyclopaedia, Art: Calculus, Vol. II., p. 636, New Edition, 1888.]
Возьмем элементарный и знакомый пример. Представьте себе круг с горизонтально проведенным диаметром, пересекающийся с окружностью справа в точке, которую мы назовем О. Затем проведите через точку 0 другую прямую линию, отсекающую часть или дугу правого верхнего квадранта круга, и назовите точку, в которой она снова пересекается с окружностью, В. Далее представьте, что эта линия 0 B вращается вокруг точки 0 как шарнира в плоскости круга слева направо, постепенно приближая точку B к точке 0; тем самым постепенно уменьшая (1) дугу перехваченной окружности, (2) длину прямой или хорды 0 B и (3) площадь, заключенную между дугой и хордой, пока эти три величины одновременно не исчезнут; что и произойдет в тот момент, когда точка B достигнет точного совпадения с точкой 0.
До этого момента линия O B является секущей окружности; в этот момент она перестает быть секущей и становится касательной к окружности; а если мы предположим, что она продолжает вращаться слева направо вокруг точки 0, то она перестает быть касательной и снова становится секущей окружности, только на этот раз часть окружности или дуги, которую она пересекает, лежит ниже диаметра и принадлежит нижнему правому квадранту окружности.
Положение прямой 0 B в тот момент, когда она становится касательной к окружности, и до тех пор, пока она ею остается, является пределом последовательного изменения положения, которое она занимала, будучи секущей окружности. И хотя в качестве секущей ее можно сколь угодно приблизить к ее положению касательной; то есть хотя ее расстояние от положения касательной может быть уменьшено последовательными дифференцированиями, пока мы не устанем находить выражения для ее миниатюрности, – все же она никогда не может совпасть с этим положением касательной, не переставая быть секущей; или, выражаясь другими словами, угол, который она как секущая образует с диаметром в точке 0, никогда не может быть точно равен углу, образуемому касательной в этой точке (что является прямым углом), без того, чтобы линия в то же время не перестала пересекать какую-либо часть дуги или окружности, какой бы незначительной эта часть ни была.
Единственная и достаточная конечная причина этого заключается в том, что последовательные положения, которые, как мы полагаем, занимает вращающаяся линия 0 B, являются идеальными делениями пространственных континуумов, а именно: области, заключенной в круге, и области или пространства вне круга, непрерывного с пространством внутри него, за исключением идеального деления, вносимого самим кругом. Ибо идеальные деления континуума не являются решениями его непрерывности, то есть не вносят в него разрывов или интервалов, которые не принадлежат
континууму, как это сделали бы физические деления материального континуума. Отсюда следует, что, пересекая континуум или предполагая движение точки, пересекающей его (будь то континуум времени, или длины, или ширины, или объема пространства), это движение также непрерывно в отношении пересекаемого континуума; то есть оно не может пропустить или оставить не пройденной ни одну часть, сколь бы малой она ни была или могла бы быть идеально разделена, то есть независимо от того, были ли эти идеальные деления явно отмечены или нет. Что касается непрерывности движения по континууму, то нет разницы, сколько или сколько идеальных делений в него внесено, поскольку никакое количество таких делений не может исчерпать его делимость, но всегда должен оставаться континуум, способный к дальнейшему идеальному делению. Короче говоря, непрерывное движение может пересечь весь континуум и в этом смысле исчерпать его, а идеальное деление – нет. Я не ставлю перед собой задачу рассматривать способы, с помощью которых фундаментальная концепция пределов становится основой методов, сначала дифференциального исчисления, а затем интегрального, которое является его противоположностью, дополнением и применением. Здесь нас интересует природа и обоснованность самого Lex Continui, из которого концепция пределов является прямым и непосредственным следствием. В связи с этим необходимо прежде всего отметить, что представление континуума, будь то время, пространство или движение, является представлением фактов чувственного восприятия, взятых в их низших и простейших проявлениях, и поэтому имеет прямую гарантию опыта. Возражения против его конечной эмпирической достоверности должны, с другой стороны, выводиться не непосредственно из данных чувственного восприятия, а из представлений, которые мыслимые рамки времени, пространства и движения, рассматриваемых по отдельности как абстрактные объекты, то есть из понятий о них, или из времени, пространства и движения как понятий. Ибо только в этом случае можно даже поставить вопрос о том, не может ли время в действительности быть последовательностью дискретных мгновений, пространство – сосуществованием дискретных точек, а движение – последовательностью скачков из одной сосуществующей точки пространства в другую, причем каждый скачок совершается в дискретное мгновение времени. Ни к чему, кроме путаницы, не приводило и не может привести такое выдвижение понятий на место восприятий в качестве конечного источника и проверки достоверности. Примером тому служат элеатские загадки о движении.
Ответ, который вытекает из опыта на вышеупомянутые вопросы, очень прост и неоспорим.
Ist. Если время состоит из череды дискретных мгновений, то из чего состоит интервал между этими мгновениями? Ведь очевидно, что если бы между ними не было интервалов, то мгновения не могли бы быть дискретными, и идея их последовательности должна была бы исчезнуть вместе с идеей их множественности. Поэтому ответ на первый вопрос заключается в том, что эти предполагаемые интервалы – это Время, предполагаемые мгновения – идеальные деления его, а само Время – непрерывная длительность, способная, поскольку она непрерывна, к идеальному делению in infinitum. Конечная природа Времени, как неотъемлемого элемента сознания, – не последовательность, а длительность.
2-е. Если пространство – это сосуществование дискретных точек, то что такое интервал или расстояние между любыми двумя такими точками? Очевидно, что это пространство. Точки – это идеальные деления его; а пространство – это континуум, способный, поскольку он непрерывен, к идеальному делению in infinitum. Его конечная природа, как неотъемлемый элемент определенных состояний сознания, – это не конфигурация, а расширение.
3-е. Если движение – это последовательность скачков из одной сосуществующей точки пространства в другую, причем каждый скачок совершается в дискретное мгновение времени, то – независимо от того, считаются ли время и пространство действительно непрерывными или нет, – движение может происходить только вне времени и пространства, а именно, путем выхода из них в одной точке и возвращения в них в другой. Это очевидно, если считать, что время состоит из дискретных мгновений, а пространство – из дискретных точек. И едва ли менее очевидно, если либо время, либо пространство считать непрерывными; ведь тогда, принимая время за непрерывное, движение должно выйти из времени, если оно должно быть дискретным по отношению ко времени, а принимая пространство за непрерывное, движение должно выйти из пространства, если оно должно быть дискретным по отношению к пространству. Таким образом, представление о движении как о дискретном не только противоречит обычно принятому представлению о нем, основанному на опыте, а именно, что оно является прохождением части пространства за часть времени, но и само по себе не может быть разумным представлением, поскольку мы не знаем среды или сред, в которые можно было бы представить движение как прыжок, когда предполагается, что оно состоит в прыжке либо из пространства, либо из времени, и в них снова. Следовательно, у нас нет другого выхода, кроме как представить движение как в равной степени непрерывное с теми частями пространства и времени, которые являются необходимыми элементами его описания; то есть как непрерывное в том смысле, что оно не оставляет ни одной части пространства не пройденной и ни одной части времени незанятой.
Отступления от общего факта или закона непрерывности, подобные тем, которые я только что попытался подвергнуть критике, возникают, по-видимому, из-за попыток сформулировать концепции числа, времени, пространства и движения, которые могут соответствовать целям или, возможно, служить конечными основаниями наук исчисления, геометрии и физики, не прибегая к субъективному анализу опыта. Эти реальности воспринимаются по отдельности, каждая из них является объектом отдельной и независимой концепции. Но этот метод препятствует восприятию того факта, что, хотя непрерывность и делимость подразумевают и предполагают друг друга, тем не менее непрерывность и ее идеальное деление не находятся в одном ряду с точки зрения их основы в опыте. Непрерывность – это представление элементарного факта, данного во всех чувственных восприятиях. Ее идеальные деления вводятся актами целенаправленного внимания со стороны воспринимающего. Идеальная делимость, но не какое-либо конкретное идеальное деление, задействована в каждом представленном или репрезентируемом континууме. Поэтому единственными неделимыми в числе, времени, пространстве и движении являются деления в континуумах, а значит, и между ними, причем сами деления не являются континуумами по сравнению с тем, что они делят. Отсюда следует, что при введении идеальных делений в любой конечный континуум между последним делением, которое мы вводим, и границей конечного континуума, в который мы его вводим, всегда существует непрерывный остаток, который всегда больше 0 и всегда способен к дальнейшему идеальному делению. Идеальные деления, которые мы вводим, происходят per saltum; но это предполагает заданную непрерывность того, в который они вводятся, до их введения. Минутные континуумы между этими идеальными делениями, которые можно делать сколь угодно малыми (и сколь угодно многочисленными), – это так называемые инфинитезимальные, или «бесконечно малые», величины Исчисления. Мы мысленно проходим над ними per saltum, но они не могут быть пройдены per saltum никаким движением, которое мыслится как реальное. Движение, чтобы быть реальным, должно быть непрерывным. Ошибочно приписывать природе те деления, которые мы вводим в явления природы, чтобы вычислить или измерить их.
Бросив ретроспективный взгляд на сказанное, мы видим, что наука чистого вычисления имеет своим первым или непосредственным объектом материю, чистые или абстрактные Числа и их отношения между собой, рассматриваемые так, как если бы они были реальностью, обладающей свойствами, вступающей в отношения и подчиняющейся собственным законам; несмотря на то, что они являются созданиями актов счета, которые являются первыми шагами в науке вычисления, и что их свойства, отношения и законы могут быть открыты только путем продолжения и развития тех самых актов счета и вычисления, посредством которых они первоначально были образованы из восприятия мыслью. Числа, рассматриваемые таким образом, а именно как отделимые от действий, которые их производят, являются первым или непосредственным объектом науки чистого вычисления.
С другой стороны, как существа мысли, в счете и вычислении, – что является для них характером в равной степени существенным, – все числа идеальны и реальны; то есть, говоря метафизическим языком, они являются объективными мыслями, даже когда они берутся как сами объекты, мыслимые в рефлектирующем сознании. Но хотя все числа и реальны, и идеальны в этом смысле, они, тем не менее, подвержены несколько схожему различию, которое ни в коем случае нельзя путать с этим, я имею в виду различие между реальными, или рациональными, и воображаемыми, или иррациональными, в зависимости от того, являются они или не являются строго соизмеримыми с единством, и поэтому могут или не могут быть точно выражены конечным числом фигур. Такие иррациональные числа также называются сурдами, например, квадратный корень из 2, или ?2. В этом классе мнимых или иррациональных чисел можно выделить и те, которые просто невозможны и нереальны из-за противоречия, заложенного в обычных терминах, используемых для их описания, как, например, в идее четного корня из отрицательной величины, ?– 1.
Таким образом, во всем своем диапазоне мы видим, что чистое вычисление обеспечивает свой собственный непосредственный объект-вещество и не зависит ни от какого другого объекта-вещества. Нельзя сказать, что оно в большей степени применяется к своему собственному объекту, чем производит его. Он исследует, производя, и производит, исследуя. Его законы и законы его объекта-вещества, говоря в целом, одинаковы. Но кроме того, она применима к посторонней для себя объектной материи, возникающей из совершенно независимого источника в чувственном восприятии; поэтому она применима к ней в строгом смысле этого слова, которое подразумевает неоднородность. И к ней она применима, поскольку вовлечена в методы, то есть в науки, с помощью которых исследуются законы этой посторонней объектной материи. Эта вторичная материя чистого исчисления подпадает под два основных раздела, один из которых ближе к чистому числу по абстрактности, чем другой, но оба они чисто количественные по характеру, и оба они связаны с ним и друг с другом центральным или шрифтовым понятием Равенства, которое является общим для всех. Первая из них состоит в фигурах пространства, направлениях и скоростях движения, которые являются предметом чистой Геометрии и Кинематики; вторая – в объемах, массах, силах и энергиях, проявляемых физической Материей, насколько они могут быть обработаны количественно и сделаны предметом любой точной физической науки.
Основа для применения чистого вычисления к пространственным и физическим величинам закладывается путем взятия некоторой непрерывной части любой такой величины, выражения ее числом и использования этого числа в качестве единицы измерения; например, в пространственной длине, если мы берем фут в качестве единицы измерения и называем его 1, то 1, умноженная на 3, представляет собой длину, называемую ярдом, а разделенная на 12 – дюймом. Окружность круга также делится на 360 равных дуг, называемых градусами, каждая из которых делится на 60 равных минут, а каждая из них – на 60 равных секунд, причем каждая равная дуга образует равный угол в центре круга. Все это, выраженное числами, может быть обработано численно, то есть с помощью процессов чистого вычисления, результаты которых должны быть переведены в конце процессов в определения пространства, те же самые, что и те, для которых числа были вначале заменены. Это точно так же, как если бы вычисление было языком со значением, только это вычисление (в отличие от звуков языка, взятых самих по себе) имеет свои собственные значения, а именно числовые значения, помимо пространственных (или физических) значений, для выражения которых оно используется ex institute.
Начиная с таких простых начал, как эти, все мыслимые конфигурации пространства, направления, движения, скорости и их изменения могут быть введены в диапазон чистого вычисления. Вся аналитическая геометрия состоит в применении ее к посторонней предметной материи пространственных фигур. И благодаря чрезвычайной общности ее символов и методов в сочетании с минимальностью того, что мы можем назвать ее прожектором – исчисления, мы можем быть уверены, что ни одна часть пространства, времени или возможного движения не должна быть оставлена непредставленной в ее результатах.
Из этого, однако, отнюдь не следует, что все результаты в форме алгебраических или символических выражений, к которым приходит чистое исчисление или которые выводятся из его процессов в ходе такого применения, должны иметь корреляты, представленные ими в объектной материи, к которой применяется исчисление. По сравнению с общими понятиями и процессами чистого вычисления, объект-материя, который мы знаем как поддающееся измерению пространство, время и движение, – это данный и конкретный объект-материя. Ее явления, хотя и весьма абстрактные, не допускают обобщения так же, как это делает простое арифметическое число, благодаря приему обращения с неизвестными числами, как если бы они были известны, и несуществующими или отрицательными числами, как если бы они существовали для целей вычисления. Следовательно, никогда нельзя избежать вопроса, могут ли символические выражения, к которым мы приходим или которые участвуют в вычислении, быть или не быть истолкованы как указывающие или представляющие какие-либо позитивно мыслимые особенности или отношения в данном объекте-материи; ибо этот объект-материя имеет свою собственную природу и законы, полностью независимые от тех процессов чистого вычисления, которые действительно используются для их открытия, но сами по себе не ограничиваются этим открытием и никоим образом не являются творческими в отношении природы и законов, которые они используются для открытия. Акты целенаправленного внимания к временному потоку сознания порождают число и исчисление, но ни число, ни исчисление не порождают восприятия пространственной протяженности или того движения, которое ее предполагает. Именно из актов целенаправленного внимания к восприятию пространственной протяженности и движения возникает Геометрия; и именно этим объектом-материей определяется ее цель и определение как науки. Каким бы необходимым ни было чистое вычисление для должного изучения пространственных явлений, оно никогда не сможет изменить ни их природу, вытекающую из пространственного протяжения, ни природу самого пространственного протяжения как непосредственной данности опыта. Эти замечания еще более очевидно применимы к тому более конкретному объекту-веществу чистого вычисления, который состоит из физических масс, сил и энергий Они также, включая их интенсивности, направления и изменения, вводятся в область вычисления теми же средствами, а именно, путем принятия единиц измерения, выраженных численно. При условии, как и прежде, что они рассматриваются исключительно как существующие и происходящие во времени и пространстве, то есть как величины, абстрагируясь от их реальных условий и последствий, отличных от тех, которые могут быть выражены как величины самих сил. Качественные изменения, такие как те, которые происходят вследствие химического сродства между веществами, хотя они могут быть результатом количественных изменений, таких как изменения конфигурации, в веществах, которые объединяются, таким образом, как качественные, исключены даже из этого вторичного объекта-материи чистого вычисления; хотя они также таким образом ipso facto классифицируются как принадлежащие к третьему и еще более отдаленному объекту-материи его, я имею в виду в силу их зависимости от чисто количественных физических изменений, относящихся ко второй главе, насколько законы этих изменений могут быть количественно установлены.
Таким образом, чистое исчисление можно рассматривать как априорную количественную обработку явлений всего физического мира, – априорную, конечно, не в трансцендентальном смысле этого слова, но в том смысле, что она основана на необходимости (вследствие того, что время и пространство являются нераздельными элементами в конечных данных опыта) представлять их как явления, существующие во времени и пространстве и занимающие их, и ограничиваться обработкой их только в этом характере. Она разрабатывает, с одной стороны, мыслимые возможности, с другой – неизбежные необходимости, связанные с этими явлениями. Таким образом, в этих пределах он может как предложить физику, химику или биологу новые гипотезы, так и проверить уже предложенные гипотезы, проработав количественные последствия, которые они влекут за собой.
Однако чистое вычисление, хотя и основано на делениях только времени (а не пространства), не является наукой о времени в том смысле, в каком чистая геометрия может быть названа наукой о пространстве, а именно как наука о его конфигурациях, или о фигурном пространстве, или о фигурном пространстве и его границах, точках, линиях и поверхностях, вместе взятых. Длины времени не являются объектом вычисления в том же непосредственном смысле, в каком протяженности и фигуры являются объектом геометрии, хотя вычисление, конечно, может быть применено для их определения. Длины времени не являются содержанием чисел, как пространственные протяженности являются содержанием пространственных границ. Числа возникают первоначально из последовательных актов деления временного континуума, но равенство всех единичных числовых единиц само по себе не вытекает из какого-либо воспринимаемого равенства в нескольких интервалах между этими последовательными актами деления. Длительность этих интервалов имеет не больше отношения к числовому значению единиц, чем длительность времени, психологически необходимого для выполнения каждого акта деления в мысли. Никакой единицы измерения времени таким образом не создается. Поэтому то обстоятельство, что время является единственным континуумом, необходимым для совершения актов счета, то есть для создания единиц, не делает эти акты мерами временной длины и не возводит измерение абстрактного времени в единственную или даже главную цель вычисления. Геометрия – это наука об измерении пространственной протяженности, делимой или делителями; исчисление – это наука о самом делении, каким бы ни был континуум, который оно измеряет.
Акты счета являются первым условием или ингредиентом установления единиц измерения; а установление единицы или фиксированного стандарта, всегда равного самому себе, в свою очередь, является первым и необходимым шагом в измерении явлений любого рода. Таким образом, вычисление во всем своем развитии непосредственно применимо к делениям или границам пространства, а именно, путем разбиения их на единицы равной длины, или части, измеряемые друг другом. Следовательно, фигуры в пространстве могут быть выражены числами; единицы длины, ширины и объема, будучи однажды взятыми. Измерение длины времени с помощью постоянных и общеприменимых единиц зависит от измерения длины пространства как одного из условий и поэтому возможно лишь косвенно.[17 - См. доклад покойного Эдварда Хоксли Родса «Научная концепция измерения времени», прочитанный в Аристотелевском обществе 1 июня 1885 г. и опубликованный в журнале «Mind», том X., стр. 347, первая серия. Возможно, мне следует также упомянуть о моей работе «Измерение времени в его отношении к философии», опубликованной в «Трудах Аристотелевского общества», том II, Я пользуюсь этой возможностью, чтобы с благодарностью отметить помощь, которую я получил от бесед с моим другом мистером Э. Хоксли Родсом в последние годы его жизни, а также от переписки с моим другом (и постоянным учителем математики во время его пребывания в Англии), мистером Эдуардом Мерлье, по теме настоящего раздела. Я ни в коей мере не хочу возлагать на них ответственность за ошибки, вызванные моим собственным несовершенным пониманием математической науки, и тем более за ход моих метафизических спекуляций относительно нее.]
Таким образом, время, хотя (или скорее потому, что) оно является наиболее фундаментальным условием науки вообще, по своему характеру как единственный необходимый формальный элемент сознания, избегает быть предметом какой-либо специальной науки о нем. Ибо для того, чтобы вообще быть понятым как объект, оно должно быть взято вместе с некоторыми определениями или различиями, принадлежащими к его неотделимому содержанию, или со-элементу, ощущению, поскольку время в чистом виде есть абстракция, неспособная быть даже приведенной в сознание без некоторой ссылки на то, от чего она абстрагирована мыслью. Более того, чтобы его рассматривать как объект особой отрасли науки, посвященной только ему, эти определения могут быть взяты только из того неотъемлемого соэлемента чувства, который является исключительно его собственным, то есть из чувств, которые занимают только время, а не время и пространство вместе. Но эти ощущения сами по себе, как мы видели, не являются постоянной единицей, применимой для измерения последовательных временных интервалов.
В этом отношении время отличается от пространства, неотъемлемое содержание или сопутствующий элемент которого, я имею в виду элемент зрительных и осязательных ощущений, богат различиями направления и величины, которые могут быть приведены в сопоставление и измерены один против другого. И эти пространственные измерения на самом деле являются конечными средствами, которыми мы располагаем для измерения временных интервалов, хотя и только косвенно. В идеале, конечно, мы можем представить себе время, разделенное на точно равные друг другу длительности, и сделать из этого идеальный стандарт, к которому, по идее, должны приближаться фактические косвенные измерения. И это фактически то самое, что делает Ньютон, когда говорит об «абсолютном времени», что оно «течет равномерно», ибо это эквивалентно представлению о нем, разделенном на единицы равной продолжительности. В этой концепции «абсолютного времени» наука о времени, можно сказать, одновременно и начинается, и заканчивается. Как доктрина она не существует. Однако на практике ее место занимает наука о делениях времени, то есть исчисление, или наука о чистом числе. Чистое исчисление и чистая геометрия, основанные соответственно на двух формальных элементах всего сознания – длительности времени и протяженности пространства, – это две науки, которые стоят у истоков всех позитивных и точных наук. Из вышеизложенного рассказа о применимости абстрактного или чистого числа к измерению конкретных содержаний или частей того конкретного временного потока сознания, из которого, благодаря вниманию и абстракции, оно возникает, мы видим не только происхождение концепции количества в целом, но и происхождение двух видов или классов, на которые количество обычно рассматривается как делимое, а именно: (1) непрерывное, (2) дискретное количество. Число – это дискретное количество в смысле представления результата идеального деления непрерывного количества на множество частей, или меньших континуумов, хотя следует помнить, что только путем деления первоначально нерасчлененный континуум становится или может мыслиться как количество вообще. Число – это название одной или нескольких частей, возникающих в результате такого деления. Если рассматривать числа как состоящие из одного или нескольких единиц, а непрерывные величины сводить к измерению путем деления их на единичные континуумы, то фактическое измерение непрерывной величины можно рассматривать как ответ на вопрос Сколько, а фактическое измерение дискретной величины – как ответ на вопрос Сколько? И применение последнего к первому, когда оно может быть осуществлено, всегда говорит нам, сколько единиц непрерывной величины можно найти в континууме, который измеряется. Таким образом, непрерывное и дискретное количество – это, строго говоря, не два отдельных класса количества, а два различных, хотя и неразделимых способа, с помощью которых количество может рассматриваться. Без непрерывности никакое количество не могло бы существовать; без дискретности оно не могло бы быть признано количеством. Сама идея количества возникает из целенаправленного введения идеального деления в данный репрезентативный континуум.
§6. Понятие бесконечности
От этих кратких рассуждений о математических науках – геометрии, кинематике и исчислении – я предлагаю теперь вернуться к вопросу об отношении, которое явления абстрактного пространства, времени и числа, когда они так рассматриваются, имеют к объективированной панораме реального внешнего мира, как он представляется нам в результате метафизического анализа опыта. И прежде всего, замечания, сделанные сейчас по поводу числа, позволяют нам вкратце изложить, как мы приходим к тому, чтобы приписать бесконечность пространству и вечность времени, как они выглядят в этой объективированной панораме, и это в обоих направлениях, (1) делимость, (2) растяжимость, in infinitum. В природе и происхождении числа у нас есть нечто, с чем можно контрастировать и посредством контраста сделать понятной бесконечность времени и пространства в обоих направлениях. Число есть для времени, как объективированный континуум, что геометрическая фигура есть для пространства, как объективированный континуум; оба являются ограничениями, введенные мыслью в заранее предположенные содержания восприятия, которые без них были бы абстрактными континуумами; восприятие фактических различий в содержании, в обоих случаях, является обстоятельством, которое мысль повторяет в представлении, и возводит в идеальное ограничение пространства и времени как абстрактных восприятий. Ряд чисел, скажем, от 1 до 100, или по ту сторону нуля от – 1 до -100, соответствует замкнутой геометрической фигуре, скажем, кубу или сфере. Процесс подсчета, то есть называния цифрами или символами, любого ограниченного количества единиц только во времени, с абстрагированием от пространства, – это то, чем является процесс воображения замкнутой твердой геометрической фигуры в пространстве и времени вместе. Как неотъемлемые элементы восприятия, их существенный характер – непрерывность; и этот перцептивный характер является основой их бесконечности, когда они воспринимаются как абстрактные представления. Таким образом, восприятие того, что они выходят за пределы любого ограничения, когда бы мы ни подвергали их испытанию либо представлением, либо репрезентацией, является фактом, который, когда мы сознательно обращаем на него внимание, становится концепцией их бесконечности; бесконечность времени, в направлении растяжимости, называется конкретным именем вечности. Бесконечными считаются те и только те вещи, которые не имеют возможных или мыслимых конечных пределов. Ничто, для чего мы можем представить себе конечный предел, не может быть представлено как обязательно или по своей природе бесконечное, хотя оно может быть представлено как неопределенное, то есть как становящееся либо бесконечно большим, либо бесконечно малым. Время и пространство мы не в состоянии представить себе как имеющие такой конечный предел. Мы представляем их как неограниченную и неоформленную непрерывность. Предполагать, что время или пространство, когда они представляются бесконечными, представляются завершенными тотальностями (что означало бы представлять их eo ipso как конечные), – простая логическая ошибка на том основании, что всякое представление есть ограничение. Тот перцептивный факт, что время и пространство избегают ограничения или выходят за его пределы посредством концепции, а не восприятие времени и пространства как тотальностей, действительно сам по себе является ограничением; однако не тем ограничением, которое концепция накладывает на время и пространство, а тем, которое они, как перцептивно данные, накладывают на нашу способность к восприятию. Тот факт, что они избегают ограничения концепцией, является тем самым фактом, благодаря которому наше представление о них как о бесконечных само конституируется, или благодаря которому оно становится определенным представлением.
С замкнутыми фигурами и числами, с другой стороны, дело обстоит иначе. Они образованы ограничением, ограничением сознательного внимания и мысли. Их природа и бытие заключаются в том, чтобы иметь предел или границу. Следовательно, хотя мы можем представить их как величины, способные к неограниченному расширению или неограниченному сжатию, мы не можем представить их как неограниченные по величине в любом направлении, не представляя их полностью упраздненными как замкнутые фигуры или как con- tinua, выраженные числами. Нет такой вещи, как бесконечно большая или бесконечно малая замкнутая фигура; нет такой вещи, как бесконечно большой или бесконечно малый континуум времени, выраженный числом. Изменения в их величине способны лишь на неопределенную прогрессию.
Время и пространство, как формальный элемент восприятия, будучи континуумами, занятыми ощущениями, материальным элементом, и разделенные на части различиями в ощущениях, являются конечной основой любого представления о количестве или величине. Точно так же материальный элемент, с его бесчисленными различиями, является конечной основой любого представления о качестве. Количество и качество перцептивно противоположны, но не являются логическими противоположностями. Это вытекает из их природы как представлений, оформленных мыслью, о том, что, будучи данными, является конечными и неотделимыми элементами всех эмпирических представлений. Логическими противоположностями количества и качества в целом являются не-количество и не-качество, любое из которых, если бы утверждалось о чем-либо конкретном, было бы эквивалентно утверждению его небытия, то есть отрицанию его существования; поскольку оба они являются представлениями об элементах, которые являются существенными, а также нераздельными в составе перцептивных реальностей.
Количество, опять же, если брать его так, как мы его сейчас берем, в связи с анализом сознания, а не только в связи с его местом в математической теории, исчерпывающе делится на логические противоположности, конечное и бесконечное количество. Каждое количество, которое достигается или описывается числовым или геометрическим ограничением, является конечным количеством; каждое количество, которое продолжается за пределы каждого такого ограничения и в силу этого продолжения, является бесконечным количеством. Но это продолжение бывает двух видов. Если последовательные ограничения идут в направлении деления или уменьшения, ???? ?????????, то бесконечность количества, которое их избегает, выражается тем, что оно бесконечно делимо, или делимо in infinitum, не переставая существовать как количество. Если ограничения направлены в сторону прибавления или увеличения, ???? ?????????, то количество, которое их избегает, называется просто бесконечным, или, в случае времени, вечным. Мы можем, пожалуй, табулировать количество, взятое в этом смысле, следующим образом:
Никакое накопление конечных количеств, никакой процесс in indefinitum никогда не может привести к бесконечному количеству, ибо бесконечное количество по сути своей является продолжением за любым мыслимым пределом. Таково наше представление о времени и пространстве, обусловленное их перцептивным происхождением, как о формальном элементе восприятия, в котором они предстают в качестве длительных и протяженных элементов с ощущениями любого и каждого вида. Таково наше представление о них, когда они составляют часть единого реального мира, объективной панорамы реального существования, обязательно придавая ему свою собственную бесконечность и как бы объединяя позитивно познаваемый мир с бесконечной вселенной, частью которой он является. Представить себе время, пространство и вселенную как бесконечные – значит представить себе тот факт, что, будучи восприятиями, они выходят за пределы концепции.[18 - Для более полного обсуждения этого вопроса я бы отослал вас к моей «Философии размышления», глава VIII. (Vol. II., pp. 67—121), а также к моему Аристотелевскому обращению за ноябрь 1893 г., «Концепция бесконечности», опубликованному в. Proceedings of the Aristotelian Society, Vol. II., No. 3, 1894, хотя в последнем есть некоторые утверждения, которых я теперь, пожалуй, не склонен придерживаться.]
Теперь я перехожу к другому разделу этой темы. В предыдущем разделе мы видели, что не существует науки об абсолютном времени, взятом отдельно, но что любое измерение времени, которое является общеприменимым, зависит от некоторого предыдущего измерения объектов или движений во времени и пространстве вместе. Таким образом, в определенном смысле измерение пространства является предшествующим условием измерения времени, и именно об этом я должен сейчас рассказать.
Обычное геометрическое представление о реальном, но абстрактном пространстве – это представление о нем как о безграничном пространстве, или протяженности во всех направлениях, абстракции, которая позитивно воспринимается только при сохранении в мысли некоторой определенности, взятой из ее материального со элемента в восприятии, чтобы противопоставить ее полной пустоте одного лишь формального элемента. Минимальным определением, или sine qua non восприятия абстрактного пространства, является мысль о математической точке в нем, как о центре расходящихся линий, или направлений, в которых может происходить движение, без ограничений или отклонений, возникающих из пустоты, в которую оно направлено.
Наше первоначальное комплексное восприятие конкретного мира пространства включало в себя восприятие его как окружающего единственного постоянного центра; но этот центр был занят конкретным объектом, телом воспринимающего, как показал анализ, приведенный в книге I. Но когда мы абстрагируем формальный элемент, называемый пространством, от этого конкретного мира и объективируем его как абстрактный объект, мы не только абстрагируемся от любого конкретного объекта в качестве его центра, но и обнаруживаем, что математическая точка, которую мы затем сохраняем в мысли как минимальное условие ее представления, не имеет в ней никакого конкретного положения; при этом в мысли не сохраняется никакой другой точки или точек, по отношению к которым ей можно было бы приписать конкретное положение. На самом деле мы имеем полную свободу действий, вводя определения и фигуры в наше представление реального, но абстрактного пространства, при одном лишь условии, что они не будут противоречить тому представлению о нем, которое вытекает из опыта, а именно как об абстрактной и безграничной Необъятности, простирающейся во всех направлениях от любой точки, которую мы можем принять за центр. Из этого следует, что все направления, определения или фигуры, которые мы можем ввести в него, будут идеальными делениями одного бесконечного и непрерывного пространства, подобно тому, как в предыдущем разделе мы видели, что все производство чисел состоит в актах деления временного континуума. Теперь, чтобы создать геометрию, или научную систему, всех возможных определений или фигураций пространства, которая будет адекватна этому представлению о нем как о безграничной пустоте и в то же время применима для измерения конкретных физических явлений космического мира, первым и наиболее существенным шагом является приведение к некоторому порядку того неопределенно большого числа направлений, о которых говорят как о «всех возможных направлениях», из одной точки пространства, взятой в качестве центра. Для этого используется система трех прямоугольных осей координат, введенная Декартом и положенная им в основу применения алгебры к геометрии, известной как алгебраическая или аналитическая геометрия.
Чтобы понять, что имеется в виду, представьте себе три прямые линии, каждая из которых может быть продлена в любом направлении до бесконечности и пересекаться под прямым углом в любой точке пространства. Одна из этих линий представляет собой направление или направления вверх и вниз от точки пересечения, другая – направления вправо и влево, а третья – направления вперед и назад от той же точки. Очевидно, что мы можем заменить эти три прямые линии тремя плоскостями, пересекающимися под прямым углом и встречающимися в одной точке; одна из этих плоскостей будет лежать посередине между направлениями вверх и вниз из этой точки, другая – посередине между направлениями вправо и влево от нее и под прямым углом к ним, третья – посередине между направлениями вперед и назад от нее и под прямым углом к ним. Очевидно также, что все остальные точки пространства, кроме этой центральной, должны лежать либо на самих этих линиях или плоскостях, либо в восьми областях, на которые они делят все пространство, в остальном не разделенное на части.[19 - Эти восемь областей – восемь пирамид, каждая из которых состоит из трех сторон и основания (основание находится в бесконечности) и имеет общую вершину. Чтобы представить себе это в воображении, возьмите, скажем, апельсин и разделите его на две половины по горизонтали, причем горизонтальное деление обозначает первую из трех плоскостей, о которых говорилось выше. Затем разделите его на две половины по вертикали, сделав разрез под прямым углом к направлениям Q’iyht и left; и снова на две половины, сделав разрез под прямым углом к направлениям forward и backwards. Если взять верхнюю половину апельсина, образованную первым или горизонтальным разрезом, то очевидно, что теперь она состоит из четырех цельных четвертей или квадрантов, отделенных друг от друга двумя вертикальными разрезами, о которых уже говорилось, и от нижней половины апельсина первым или горизонтальным разрезом. Нижняя половина также состоит из четырех точно таких же четвертей; всего их восемь; таким образом, получается весь апельсин. Наконец, представьте, что поверхность, или поверхностная граница, апельсина удалена, в результате чего восемь его четвертей открыты в направлении их оснований и от их общей вершины в центре апельсина, и вы получите образ бесконечного или безграничного пространства, исчерпывающе отображенного тремя измерениями.]
Из этого следует, что три декартовы оси координат позволяют определить положение любой точки в пространстве, измерив ее расстояние по прямой линии от каждой из трех прямых, называемых осями, или от плоскостей, которыми они могут быть заменены. Эти три оси или направления известны как три измерения Пространства, потому что эти направления и их число, а именно три, одновременно необходимы и достаточны для того, чтобы наметить и обеспечить средства измерения фигур внутри всей этой бесконечной пустоты, которая носит название Пространства. Все остальные направления, или измерения, как средства измерения, а также все фигурации или определения должны лежать где-то внутри областей пространства, выделенных этими тремя. Они делят его исчерпывающим образом, поскольку разделяют его бесконечность.
Менее точным языком будет говорить о длине, ширине и глубине как о трех измерениях пространства или о фигурах в пространстве. Измерение означает направление, по которому можно производить измерения. Широта включает в себя два таких направления, представленных в простейшей форме для целей измерения двумя прямыми линиями в одной плоскости под прямым углом друг к другу. Глубина включает в себя третье направление, представленное по той же причине прямой линией под прямым углом к обеим. Таким образом, ширина и глубина – это не размеры пространства, а свойства его фигуры, определяемые размерами; ширина – двумя, глубина – тремя, начиная с первого, то есть с направления, в котором в конечном счете измеряется только длина и которое представлено прямой линией, поскольку прямая линия тождественна расстоянию между любыми двумя точками.[20 - Что касается того, что расстояние между любыми двумя точками всегда уникально и может быть представлено только прямой линией, и вытекающей отсюда необходимости, которой подчиняется вся геометрия, принимать прямую линию в качестве одного из своих конечных оснований или аксиом, см. замечательную работу «Априори в геометрии» достопочтенного Бертрана Рассела, прочитанную в Аристотелевском обществе 30 марта 1896 года и напечатанную в его Трудах, том III, Я хотел бы также обратить внимание на «Эссе об основаниях геометрии» г-на Рассела, Кембридж, 1897 г., работу, которая попала мне в руки только тогда, когда настоящий раздел уже находился в печати.]
Тем не менее, линии, поверхности и твердые фигуры не могут быть названы измерениями пространства. Линии – это общий класс, содержащий два вида: прямые и кривые линии. Поверхности – это общий класс, содержащий плоские и кривые поверхности. Твердые фигуры – общий класс, содержащий бесчисленное множество подклассов, в зависимости от природы поверхностей, которые являются их границами. Правда, кривая линия, как и прямая, взятая сама по себе, не имеет ширины и в этом смысле может рассматриваться как имеющая только одно измерение. Но это означает лишь то, что ее следует рассматривать как разделение или деление пространства, границу между поверхностями, а не то, что она может служить конечным средством измерения, то есть сама быть измерением пространства или использоваться как таковое, пока не будет установлено ее собственное направление, то есть ее кривизна. Аналогичное замечание справедливо и для кривых поверхностей, и для твердых тел. Только прямые линии могут служить конечными измерениями пространства или фигур внутри пространства, потому что только они являются конечными определениями расстояния между любой точкой и другой.
Принимая таким образом три декартовы оси координат за три измерения, мы возвращаемся к той самой концепции пространства, которая, как мы видели, обоснована метафизическим анализом опыта, в котором она была первоначально приобретена, и которая, будучи объективирована сама по себе как абстрактный объект, как это происходит в чистой геометрии, идентифицируется с концепцией Ньютона «истинного, математического и абсолютного пространства» (гомалоидного пространства, как оно теперь называется), данной в уже цитированном Scholium. Ньютон говорит: «Spatium absolutum, natura sua sine relatione ad externum quodvis, semper manet similare» [гомалоидное] «и неподвижное». Таким образом, концепция Ньютона, метафизическая концепция, обычная концепция здравого смысла и, смею думать, строго геометрическая концепция пространства также совпадают в существенных обстоятельствах представления его как (1) непрерывного протяжения, (2) трех и только трех измерений, (3) бесконечного, а потому (4) только одного пространства, а не многих.
Но эта концепция пространства очевидно и prima facie противоречит некоторым новым событиям, частично обусловленным новыми концепциями в области собственно геометрии, а частично – применением к ней алгебраических методов, которые в последнее время широко признаются в качестве установленных истин. Я говорю, во-первых, о том, что известно как неевклидова геометрия, и, во-вторых, о том, что тесно с ней связано, а именно о гипергеометрической геометрии, или геометрии четырех и более измерений, или, кратко, n-мерного пространства. Необходимо сказать несколько слов по обеим этим темам, чтобы показать, (1) что неевклидовы геометрии неадекватны как геометрии бесконечного пространства, но в то же время не противоречат этой концепции, и (2) что концепция n-мерного пространства самопротиворечива и немыслима; результат, который исключает даже предположение, что такое пространство или пространства могут существовать, хотя и недоступны для существ, наделенных только человеческими способностями восприятия. Логическое противоречие – это причина для отрицания реального существования, значительно отличающаяся от любой причины для его отрицания, возникающей только из-за ограниченности человеческих способностей. Пространство n измерений, как я попытаюсь показать, столь же логически немыслимо, как и утверждение в арифметике, что 2 +2 равно 5, или что в геометрии квадрат и круг могут быть одинаковыми. Если n-мерное пространство влечет за собой логическое противоречие, то мысль о его существовании в других мирах, кроме нашего, не может даже возникнуть.
В предыдущем разделе мы видели, что в науке исчисления определение величин осуществлялось с помощью символов, которые имели значение и использовались в расчетах, совершенно независимо от того, были ли символизируемые величины реальными, или воображаемыми, или даже противоречивыми. Мы увидели, что символы, обозначающие ничто, 0, и бесконечность, co, могут иметь различные значения в зависимости от того, какое место они занимают в конкретном вычислении, в котором они встречаются; что co может иметь различные степени, одна двойная (скажем) другой; и что 0 не обязательно подразумевает полное исчезновение количества. Короче говоря, мы увидели, что концепция количества в целом была вовлечена в процесс, акт целенаправленного внимания, от которого зависела вся наука вычисления или определения конкретных количеств. Теперь точно такое же положение, какое занимает концепция количества в целом в науке исчисления, занимает концепция «абсолютного пространства», или фигуративной Вакуиты, в науке геометрии, как науке об определениях или фигурациях пространства. Именно на основе этой концепции строится вся геометрия, или, другими словами, «абсолютное пространство» предполагается как существо, в которое геометр может идеально ввести деления, направления, величины, способы измерения, конфигурации, отношения и системы конфигураций, при соблюдении лишь условий, (1) что аксиомы, с которых он начинает, должны быть утверждениями самоочевидных фактов восприятия, и (2) что системы, к которым он приходит, должны быть логически последовательными внутри себя и с теми аксиомами, с которых он начинает. Очевидное невыполнение первого из этих условий одиннадцатой аксиомой Евклида (я имею в виду ту, которая гласит, что две прямые линии в одной плоскости, будучи продолжены, должны рано или поздно встретиться, если другая прямая, пересекающая их, делает внутренние углы, по ту же сторону пересекающей линии, в совокупности меньше двух прямых углов), было, в сущности, тем обстоятельством, из которого возникли те исследования, которые в конце концов, в руках Лобачевского, Гаусса, Бельтрами, Римана, фон Гельмгольца и других, привели к установлению возможности самосогласованной, но неевклидовой геометрии. Утверждалось, что геометрия Евклида – это не то же самое, что геометрия «абсолютного пространства», как предполагалось ранее, а лишь одна из трех систем геометрии, каждая из которых, исходя из своих собственных предпосылок, но только из них, представляет собой совершенно самосогласованную систему геометрических истин.
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «Литрес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию (https://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=70897942) на Литрес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.
notes
Примечания
1
Порция важный персонаж пьесы Уильяма Шекспира «Венецианский купец»
2
См. «Схолию», приложенную к «Определениям» первой книги «Принципиума».
3
Treatise on Natural Philosophy, by Sir William Thomson (Lord Kelvin), F.R.S., and Peter Guthrie Tait. 2 vols. Cambridge. New Edition, 1879.
4
Elements of Dynamic, «Part I., Kinematic, Two vols. 1878 and 1887. Macmillan.
5
В том, что число не обязательно зависит от пространственных представлений, я с удовольствием соглашаюсь с моим другом М. Э. Биллоном в той ценной серии статей под названием A propos de la Notion du Nombre, которые он с интервалами помещал в разных номерах «La Critique Philosophique» с июня 1882 по январь 1885 года. См. в частности №25 (Douzieme Ann^e) 21 Juillet, 1883, и №27 (того же года) 4 Aotit, 1883. Наверное, мало найдется людей, которые могли бы читать эти тщательно аргументированные статьи без поучения и пользы. Кроме того, они рекомендуются английским читателям, поскольку содержат острую критику взглядов, которых придерживались Дж. 8. Милля, д-ра Алекса. Бейна и мистера Герберта Спенсера по вопросу о нашем восприятии последовательности и сосуществования. Тем не менее я не могу принять теорию уважаемого автора в целом, поскольку расхожусь с исходным предположением, которое он кладет в ее основу, а именно, что наше восприятие числа частично, но в основном обусловлено априорной идеей или формой в сознании, которую он называет категорией и которой он приписывает аналогичную природу и равный ранг с теми априорными формами, идеями или категориями, из которых, по его мнению, в конечном итоге происходит наше восприятие пространственных позиций и временных последовательностей. См., в частности, Noi 39, за 27 октября 1883 г., стр. 202—203 и стр. 206—207. М. Биллон, по сути, строго придерживается той модифицированной формы кантианства, которая обязана своим существованием мощному уму М. Ш. Ренувье.
6
Из определенного факта или условия следует неминуемый вывод или заключение.
7
In the Scholium to Section I., Book I., of the Principia.
8
Arithmetica Universalis. Cantab. 1707- p. 2.– «Per Numerum non tam multi tudinem uni tat um quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitatem quae pro unitate habetur rationem intelligimus. Estque triplex; integer, fractus et surdus: Integer quem unitas metitur, fractus quem unitatis pars submultiplex metitur, ct surdus cui unitas est incommensurabilis.» Мне говорили, что наиболее продвинутые математики современности перестали рассматривать число как количество и больше не принимают концепцию Ньютона, изложенную в этом отрывке. Конечно, математики могут определять число любым способом, который они считают наиболее подходящим для требований своей науки. И все же я должен сказать, что, рассматривая число с точки зрения его происхождения в реальном опыте и места, которое оно занимает в этом опыте в целом, я не вижу, как оно может быть отнесено в конечном итоге к какой-либо другой концепции, кроме концепции количества, которая охватывает все возможные виды сравнительной величины, если только мы не считаем его чистым творением некой чисто абстрактной мыслящей силы, ипостазированной как агент по предположению, и в этом случае его, несомненно, можно считать качеством, а именно качеством мысли этой предполагаемой мыслящей силы. Но это означало бы подмену предположения опытом. Во всех утверждениях Ньютона об элементарных истинах, насколько я могу претендовать на знакомство с ними, я, как мне кажется, распознаю разум, который не только принимает опыт в качестве своего руководства, но и держит в поле зрения отношения, которые та часть опыта, которую он в любой момент рассматривает, несет к другим частям и к целому. Это обстоятельство делает его труды бесценными для метафизика.
9
Arithmetic for the Use of Schools, By A, Sonnenschein and H. A. Nesbitt. London, 1870. Part III., p. 216.
10
Todhunter’s Algebra. Fifth Edition, 1870, p. 157.
11
Цитируемая работа, стр. 1 – «Computatio vel fit per numeros ut in vulgari Arithmetica vel per species ut Analystis mos est. Utraque tisdem innititur fundamentis, et ad eandem metam collimat: Arithmetica quidem definite et particulariter, Algebraica autem indefinite et universaliter; ita et enuntiata fere omnia quae in hac computatione habentur,. et praesertim conclusiones, Theoremata dici possint. Verum Algebra maxime praecellit quod cum in Arithmetica Quaes tiones tantum resolvantur progrediendo a datis ad quaesitas quantitates, haec a quaesitis tanquam datis ad datas tanquam quaesitas quantitates plerumque regreditur; ut ad conclusionem aliquam, seu PEquationem, quocunque demum modo perveniatur,, ex qua quantitatem quaesitam elicere liceat. Eoque pacto conficiuntur difficillima Problemata quorum resolutiones ex Arithmetica sola frustra peterentur. Arithmetica tamen Algebrae in omnibus ej us opcrationibus ita subservit, ut non nisi unicam perfectam com- putandi Scientiam constituere videantur; et utramque propterea conjunctim explicabo. "– Здесь мы снова находим не менее авторитетного человека, чем Огюст Комт, обвиняющего Ньютона в определении алгебры как универсальной арифметики, на том основании, что это дает очень ложное представление о реальном соотношении между двумя науками, которое сам Ньютон был бы одним из первых, кто отверг бы его в настоящее время. {Курс философского позитивизма. Quatrieme Lecon. Vol. I., p. 135. Издание Литтре, 1864). Различие между ними, проведенное самим Комтом, кратко резюмируется словами: «Алгебра – это вычисление функций, а варифметика – вычисление величин» (ibid. p. 134). Но, ни на минуту не отрицая универсальности чистой арифметики, которая является одновременно основой и конечной целью всех вычислений, я все же не могу не думать, что различие метода (a queesitis tanquam datis ad datas tanquam queesitas quantitates), отмеченное Ньютоном как характерное для алгебры, дает более ясное представление о положении, которое эти две области соответственно занимают по отношению к процессам обычного логического мышления. Различие Ньютона особенно ценно тем, что оно демонстрирует методы арифметики и алгебры _ в этой связи, то есть в свете их общего отношения к мышлению в целом. То, что это различие реально, что обратный метод алгебры действительно является обобщением, а также инверсией метода арифметики, надеюсь, станет очевидным по мере нашего дальнейшего изложения. —
12
Work cited, p. 3.
13
Todhunter’s Algebra, 5th ed., 1870, Art. 94, p. 41,
14
Encyc. Brit. Ninth Edition, 1875. Vol I. p. 519.
15
Chambers’ Encyclopaedia. Edition of 1888. Vol. I., p. 248.
16
Chambers’s Encyclopaedia, Art: Calculus, Vol. II., p. 636, New Edition, 1888.
17
См. доклад покойного Эдварда Хоксли Родса «Научная концепция измерения времени», прочитанный в Аристотелевском обществе 1 июня 1885 г. и опубликованный в журнале «Mind», том X., стр. 347, первая серия. Возможно, мне следует также упомянуть о моей работе «Измерение времени в его отношении к философии», опубликованной в «Трудах Аристотелевского общества», том II, Я пользуюсь этой возможностью, чтобы с благодарностью отметить помощь, которую я получил от бесед с моим другом мистером Э. Хоксли Родсом в последние годы его жизни, а также от переписки с моим другом (и постоянным учителем математики во время его пребывания в Англии), мистером Эдуардом Мерлье, по теме настоящего раздела. Я ни в коей мере не хочу возлагать на них ответственность за ошибки, вызванные моим собственным несовершенным пониманием математической науки, и тем более за ход моих метафизических спекуляций относительно нее.
18
Для более полного обсуждения этого вопроса я бы отослал вас к моей «Философии размышления», глава VIII. (Vol. II., pp. 67—121), а также к моему Аристотелевскому обращению за ноябрь 1893 г., «Концепция бесконечности», опубликованному в. Proceedings of the Aristotelian Society, Vol. II., No. 3, 1894, хотя в последнем есть некоторые утверждения, которых я теперь, пожалуй, не склонен придерживаться.
19
Эти восемь областей – восемь пирамид, каждая из которых состоит из трех сторон и основания (основание находится в бесконечности) и имеет общую вершину. Чтобы представить себе это в воображении, возьмите, скажем, апельсин и разделите его на две половины по горизонтали, причем горизонтальное деление обозначает первую из трех плоскостей, о которых говорилось выше. Затем разделите его на две половины по вертикали, сделав разрез под прямым углом к направлениям Q’iyht и left; и снова на две половины, сделав разрез под прямым углом к направлениям forward и backwards. Если взять верхнюю половину апельсина, образованную первым или горизонтальным разрезом, то очевидно, что теперь она состоит из четырех цельных четвертей или квадрантов, отделенных друг от друга двумя вертикальными разрезами, о которых уже говорилось, и от нижней половины апельсина первым или горизонтальным разрезом. Нижняя половина также состоит из четырех точно таких же четвертей; всего их восемь; таким образом, получается весь апельсин. Наконец, представьте, что поверхность, или поверхностная граница, апельсина удалена, в результате чего восемь его четвертей открыты в направлении их оснований и от их общей вершины в центре апельсина, и вы получите образ бесконечного или безграничного пространства, исчерпывающе отображенного тремя измерениями.
20
Что касается того, что расстояние между любыми двумя точками всегда уникально и может быть представлено только прямой линией, и вытекающей отсюда необходимости, которой подчиняется вся геометрия, принимать прямую линию в качестве одного из своих конечных оснований или аксиом, см. замечательную работу «Априори в геометрии» достопочтенного Бертрана Рассела, прочитанную в Аристотелевском обществе 30 марта 1896 года и напечатанную в его Трудах, том III, Я хотел бы также обратить внимание на «Эссе об основаниях геометрии» г-на Рассела, Кембридж, 1897 г., работу, которая попала мне в руки только тогда, когда настоящий раздел уже находился в печати.