Atra matematika verbalas skaiti?anas noslepumi
Edgars Auzin?
Tiek piedavatas vienkar?as metodes, kas lauj ar zibens atrumu prata veikt tadus aprekinus ka reizina?ana, dali?ana, skaitlu saskaiti?ana un atnem?ana, darbibas ar dalskaitliem, kvadratsaknu un kubisko saknu iegu?ana. Paredzets pla?am lasitaju lokam.
Edgars Auzin?
Atra matematika verbalas skaiti?anas noslepumi
Ievads
Iedomajieties, ka varat reizinat lielus skaitlus sava galva atrak, neka tos ierakstitu kalkulatora. Iedomajieties, ka varat atri parbaudit – atkal sava galva – ieguto rezultatu. Ka jusu kolegi reagetu, ja jus sava galva atrastu kvadratveida un pat kubsaknes? Vai tas jums neraditu loti gudra cilveka reputaciju? Vai jusu draugi un kolegi nesaks pret jums iztureties savadak, ar lielaku cienu? Ka ar skolotajiem, pasniedzejiem, klientiem, jusu menedzeri?
Cilveki matematikas spejas pielidzina intelektam. Ja reizina?anas, dali?anas, kvadratsaknes un kvadratsaknes darbibas sava galva spesi veikt atrak, neka draugi spes izvilkt no kabatas kalkulatoru, tiksi uzskatits par cilveku ar visaugstako inteligenci.
Es vienam bernam iemaciju dazas pieejas, ko jus apgusit ?aja gramata, pirms vin? macijas pirmaja klase, un tapec skolas gados daudzi vinu uzskatija par brinumbernu.
Gimene, skola un darba vieta pret cilvekiem, kuri ir apguvu?i ?o tehniku, sak iztureties at?kirigi. Un, ta ka pret viniem izturas ka pret cilvekiem ar lielu inteligenci, vini pa?i sak rikoties gudrak.
Kapec macit pamata aritmetiku un skaitlu teoriju?
Kadu dienu mani uzaicinaja uz radio ?ovu. Pec sarunas ar mani vaditajs vaicaja studija klateso?ajam vienas no Australijas vado?ajam universitatem matematikas nodalas parstavim, ko vin? doma par mani un manam metodem. Vin? sacija, ka macit studentiem aprekinu noteikumus ir lieka laika tere?ana. Kapec kadam butu jaspej sava galva skaitit kvadrata, reizinat, nemt kvadratsaknes un dalit skaitlus, ja pastav kalkulatori? Pec tam uz studiju zvanija daudzi vecaki un teica, ka ?i skolotaja attieksme izskaidro, kapec vinu berniem skola gajis tik gruti ar matematiku.
Man bija ari iespeja parrunat ar skolotajiem skaitlu pamatoperaciju nozimi. Daudzi apgalvo, ka berniem nav jazina, ka 5 plus 2 ir 7 vai ka 2 reiz 3 ir 6.
Kad skoleni klase izsaka ?adus viedoklus, es ludzu vinus iznemt no portfeliem kalkulatorus. Tad es lieku viniem nospiest atbilsto?as pogas, kamer es dikteju uzdevumu: «Divi plus tris reiz cetri vienads…»
Daziem studentiem kalkulators ka atbildi sniedz 20. Citiem atbilde ir 14.
Kura no ?im divam atbildem ir pareiza? Ka kalkulators var sniegt divas dazadas atbildes, ja nospiezat vienas un tas pa?as pogas?
Tas ir tapec, ka pastav noteikta seciba, kada javeic aritmetiskas darbibas. Vispirms jareizina vai jadala, un tikai tad jasaskaita un jaatnem. Dazi kalkulatori nem vera ?o funkciju, citi ne.
Kalkulators nevar domat tava vieta. Jums jaapzinas, kada seciba veicat aprekinus. Ja jus nezinat matematiku, kalkulators jums neko daudz nepalidzes.
Talak ir mineti dazi iemesli, kas liek man teikt, ka matematika ir ne tikai nepiecie?ama, bet ari loti svariga jebkurai personai neatkarigi no ta, vai vin? macas vai ne.
• Cilveki matematiskas spejas uzskata par augsta intelekta pazimi. Ja tev padodas matematika, cilveki medz uzskatit, ka esi gudrs. Pret skoleniem, kuriem matematika padodas, parasti ar pastiprinatu cienu izturas gan skolotaji, gan kursabiedri. Skolotaji vinus nereti pieskaita pie potenciali spejigakiem skoleniem, un viniem pa?iem nereti padodas labak – ne tikai matematika, bet ari citos macibu priek?metos.
• Maci?anas stradat ar skaitliem, jo ipa?i ar prata aprekiniem, palidz labak izprast matematikas likumus.
• Garigie aprekini palielina koncentre?anas speju, stiprina atminu un attista speju vienlaikus turet galva vairakas idejas. Cilveks, kur? parvalda ?adu aprekinu metodes, iemacas stradat vienlaicigi ar vairakiem garigiem konstruktiem.
• Mentalie aprekini iemacis «sajust» skaitlus un atri novertet rezultata pareizibu.
• Personai, kas saprot matematiku, ir labakas spejas domat saniski. ?aja gramata piedavatas pieejas palidzes attistit speju domat alternativos virzienos; Rezultata jus iemacisities meklet nestandarta pieejas problemu risina?anai un aprekinu veik?anai.
• Matematikas zina?anas sniegs parliecibu par savam spejam, kas paaugstinas pa?vertejumu. ?eit ieteiktas metodes palielinas jusu parliecibu par savam garigajam spejam, intelektu un matematikas problemu risina?anas prasmem.
• Parbaudes metodes lauj personai, kas veic aprekinu, nekavejoties atpazit kludu. Ja pielaujat kludu, parbaude laus jums to uzreiz identificet un labot. Ja lemums ir pareizs, parbaude to apstiprinas un sniegs jums papildu gandarijumu, apzinoties savu darbibu pareizibu. Speja atpazit kludas, veicot aprekinus, sniedz papildu motivaciju aprekinu veicejam.
• Matematikai ikdiena ir liela nozime. Neatkarigi no ta, vai skataties sporta programmu vai perkat partikas preces veikala, prata aprekini vienmer ir noderigi. Mums visiem laiku pa laikam ir javeic atri prata aprekini.
Matematiska doma?ana
Vai ta ir taisniba, ka ne visi cilveki ir dzimu?i ar matematisko pratu, ka daziem ir sakotnejas priek?rocibas salidzinajuma ar citiem labakas matematikas apguves zina? Un otradi, vai ta ir taisniba, ka dazi cilveki ir mazak apdavinati matematisko problemu risina?ana?
At?kiriba starp tiem cilvekiem, kuri daudz sasniedz matematika, un tiem, kuri sasniedz maz, ir nevis smadzenes, ar kuram vini piedzimst, bet gan tas, ka vini tas izmanto. Tie, kas sasniedz vairak, izmanto efektivakas pieejas neka citi.
?i gramata iemacis efektivakas pieejas. ?eit aplukotie panemieni ir daudz vienkar?aki neka iepriek? macitie, tapec aprekinu problemas atrisinasiet daudz atrak un ar mazakam kludam.
Iedomajieties divus skolenus un skolotaju, kur? viniem tikko radijis problemu. Students A saka: «Tas ir gruts uzdevums. Skolotaja mums nemacija, ka risinat ?ada veida problemas. Ka es varu to atrisinat? Izradas, ka skolotajs mums izvirza nepamatoti sarezgitus uzdevumus.
Students B saka: «Tas ir gruts uzdevums. Skolotaja mums nemacija, ka risinat ?ada veida problemas. Ka es varu to atrisinat? Skolotajs zina, kads ir musu zina?anu limenis un kadas problemas varam atrisinat, tapec ar to, ko vin? mums lidz ?im ir macijis, vajadzetu pietikt, lai mes pa?i tiktu gala ar risinajumu. Kur man sakt?
Kur? skolens, jusuprat, visticamak atrisinas problemu? Ir skaidrs, ka students B.
Kas notiks nakamreiz, kad viniem tiks dots lidzigs uzdevums? Students A teiks: «Es nevaru to atrisinat. Tas ir tads pats uzdevums ka pagaju?aja reize. Vina ir parak gruta. Es slikti risinu ?adas problemas. Kapec jus mums nepajautajat kaut ko vieglaku?
Un students B teiks: «Tas man atgadina iepriek?ejo problemu. Es domaju, ka varu to atrisinat. Es jau vairak vai mazak esmu iemacijies risinat ?adas problemas. Tie nav loti vienkar?i, bet tos var atrisinat. Tatad, ka es tam pietuvojos?»
Abiem studentiem izveidojas uzvedibas modelis: viens bija sakavejs, otrs bija orientets uz uzvaru. Vai tam ir kads sakars ar vinu intelektualo potencialu? Iespejams, bet nav nepiecie?ams. Vini var but vienadi intelekta zina. Tas vairak ir par skolenu attieksmi pret uzdevumu, ko var noteikt gan iepriek? macitais, gan ari iespaidots no pieredzes – pozitivas un negativas. Nepietiek vienkar?i aicinat cilvekus mainit savu attieksmi. Tas vinus tikai aizkaitinas. Es gribetu viniem pateikt, ka vini var darit labak, un tad paradit viniem, ka to izdarit. Laujiet pozitivai pieredzei mainit vinu attieksmi, nevis bridinajumus. Pozitivas pieredzes del cilveku sejas izgaismojas un vini izsaucas: «Ura! ES varu!»
Mans pirmais matematikas noteikums izskatas ?adi:
Jo vienkar?aku metodi izmantosit problemas risina?anai, jo atrak to atrisinasit un mazaka iespeja kludities.
Jo sarezgitaku metodi izmantojat, jo ilgaks laiks bus nepiecie?ams problemas atrisina?anai un lielaka iespeja kludities. Cilveki, kuri izmanto labakas metodes, sanem atbildi atrak un pielauj mazak kludu, savukart tie, kas izmanto mazak efektivas metodes, atbildi sanem lenak un pielauj vairak kludu. Saikne ar intelektu ?eit nav tik liela, tas nemaz neprasa ipa?u matematisku doma?anu.
Mazliet par pa?u gramatu
?i gramata ir uzrakstita vienkar?a un saprotama valoda. Kad esat to izlasijis, jus sapratisit matematiku ka nekad agrak un busiet parsteigts, cik vienkar?i ta var but. Datortehnika saks jums sagadat prieku tados veidos, ka jus nekad neesat iedomajies.
Katra nodala piedava virkni risinamu piemeru. Meginiet tos atrisinat pats pec manis apskatitajiem apmacibas piemeriem, nevis vienkar?i pasivi lasit. Jus atklasiet, ka manis sniegtie piemeri nemaz nav sarezgiti. Izstradajot katra piemera risinajumu ar maniem noradijumiem, jus patiesi apgusit risinajuma pamata eso?as metodes un principus un busit motivets turpinat lasit. Tikai izstradajot ?o piemeru risinajumus, jus sapratisit, cik vienkar?as ir ?eit piedavatas metodes.
Loti iesaku veltit laiku piemeru risina?anai pa?am gan uz papira, gan galva. Pec ?is gramatas izstude?anas jus busiet parsteigts, cik progresivas ir kluvu?as jusu matematikas prasmes.
1. nodala Reizina?ana: Pirma dala
Cik labi jus zinat reizina?anas tabulas?
Vai velaties apgut reizina?anas tabulas skaitliem no 1 lidz 10 mazak neka 10 minutes? Ka ir ar tabulu skaitliem no 10 lidz 20 mazak neka pusstundas laika? Tas viss ir iespejams, izmantojot metodes, par kuram es runaju ?aja gramata. Es tikai pienemu, ka jus pietiekami labi zinat skaitla 2 reizina?anas tabulas un ka jus zinat ari saskaiti?anas un atnem?anas darbibas maziem skaitliem.
Skaitlu reizina?ana lidz 10
Saksim ar to, ka iemacisimies reizinat visu veidu skaitlus no 1 lidz 10 lidz 10 x 10. Metode ir ?ada.
Ka piemeru nemsim produktu 7 x 8.
Uzrakstiet uz papira lapas 7 x 8 = un uzzimejiet apli zem katra no diviem skaitliem, kas tiek reizinati.
Apskatisim pirmo no faktoriem, skaitli 7. Cik daudz ta trukst no skaitla 10? Atbilde: 3. Apli zem skaitla 7 ierakstisim 3. Tagad pieversisimies skaitlam 8. Kas jaraksta apli zem skaitla 8? Cik pietrukst no 10? Ir skaidrs, ka tas ir 2. Mes ievadam 2 apli zem faktora 8.
Luk, ko mes sanemam:
Tagad veiksim atnem?anu ?kersam. Tas nozime, ka jums ir jaatnem jebkur? no apli eso?ajiem skaitliem (3 vai 2) no skaitla, kas atrodas nevis tie?i virs ta, bet no ta, kas atrodas pa diagonali, tas ir, virs otra skaitla apli. Citiem vardiem sakot, jus atnemat 3 no 8 vai 2 no 7. Tas ir jadara tikai vienu reizi, tapec izvelieties opciju, kas jums ?kiet vieglaka. Jebkura gadijuma rezultats ir vienads: 5. ?is ir jusu atbildes pirmais cipars.
8–3 = 5 vai 7–2 = 5
Tagad reizinasim skaitlus aplos. 3 reizes 2 dod 6. ?is bus jusu atbildes pedejais cipars. Tadejadi atbilde bus 56. Atrisinata problema izskatas ?adi:
Ja jus varat viegli reizinat 2 ar citiem skaitliem lidz 10, tad varat viegli atcereties reizina?anas tabulas no 1 lidz 10 un vairak. Apstiprinasim apguto ar citu piemeru: 8 x 9.
Cik katra gadijuma trukst lidz 10? Atbilde: 2 un 1. Mes ievadam 2 un 1 aplos zem skaitliem, kas tiek reizinati. Ko tagad darisim? Mes atnemam ?kersam.
8 – 1 = 7 vai 9 – 2 = 7
7 ir atbildes pirmais cipars. Pierakstisim to. Tagad sareizinasim abus skaitlus aplos:
2 x 1 = 2
2 ir musu atbildes pedejais cipars. Tatad atbilde ir 72.
Viegli, vai ne? Tagad meginiet pats atrisinat dazus piemerus. Ta vieta, lai rakstitu atbildes ?eit, gramata, varat to izdarit uz atsevi?kas papira lapas vai piezimju gramatina – velak varat atgriezties pie piemeriem gramata un iepriek? nezinat atbildes.
a) 9 x 9 = __; b) 8 x 8 = __; c) 7 x 7 = __; d) 7 x 9 = __; e) 8 x 9 = __; e) 9 x 6 = __; g) 5 x 9 = __; h) 8 x 7 = __
Atrisiniet katru no piemeriem, pat ja jus jau atceraties reizina?anas tabulas. ?i ir pamatmetode, ko izmantosit turpmak, reizinot skaitlus.
Ka notika lemuma pienem?ana? ?eit ir atbildes uz piemeriem:
a) 81; b) 64; c) 49; d) 63; e) 72; e) 54; g) 45; h) 56
Vai tas nav vienkar?akais veids, ka apgut reizina?anas tabulas?
Vai ir verts macities reizina?anas tabulu?
Tagad, kad esat apguvis skaitlu reizina?anas metodi, vai tas nozime, ka jums nav jaapgust reizina?anas tabulas?
Patiesibu sakot, ja un ne.
Tas nav nepiecie?ams, jo tagad jus varat pec nelielas apmacibas gandriz acumirkli aprekinat jebkura skaitlu para reizinajumu. Ja esat jau apguvis reizina?anas tabulu, tad ?is metodes apgu?ana dos papildu priek?rocibas.
Ja jus vel nezinat reizina?anas tabulas, tad jums ir iespeja to apgut rekordisa laika. Kad esat aprekinajis reizinajumu 7 x 8 = 56 desmit vai vairak reizu, jus atklasiet, ka atbildi esat iegaumejis uz visiem laikiem. Citiem vardiem sakot, jus esat iemaciju?ies dalu no reizina?anas tabulas. Es atkartoju, ka tas ir vienkar?akais veids, ka es zinu, ka apgut reizina?anas tabulu, un ari pats izklaidejo?akais. Un jums nav jauztraucas par tabulu neiegaume?anu no galvas – jus vienmer varat aprekinat nepiecie?amo produktu tik atri, it ka jus zinatu atbildi no galvas.
Skaitlu, kas ir lielaki par 10, reizina?ana
Vai ?i metode darbojas, reizinot skaitlus, kas lielaki par 10?
Protams, ka strada. Izmeginasim to ar piemeru:
96 x 97 =
Uz kadu lielaku skaitli ?ie skaitli jasamazina? Cik pietrukst kam? Lidz 100. Ievadiet 4 apli zem 96 un 3 zem 97.
Ko tagad darisim? Mes atnemam ?kersam: 96 minus 3, tas pats, kas 97 minus 4, ir vienads ar 93. ?i ir atbildes pirma (priek?eja) dala. Ko darisim talak? Reiziniet skaitlus aplos. 4 reizes 3 reizinajums ir vienads ar 12. ?i ir atbildes pedeja (aizmugureja) dala. Pati atbilde attiecigi ir 9312.
Kura metode ir vieglaka: ?i vai ta, kuru jums macija skola? Protams, ?is.
Atcerieties manu pirmo matematikas likumu:
Jo vienkar?aku metodi izmantosit problemas risina?anai, jo atrak to atrisinasit un mazaka iespeja kludities.
Tagad es piedavaju vairakus piemerus jusu risinajumam:
a) 96 x 96 = ___; b) 97 x 95 = ___; c) 95 x 95 = ___; d) 98 x 95 = ___; e) 98 x 94 = ___; e) 97 x 94 = ___; g) 98 x 92 = ___; h) 97 x 93 = ___
Atbildes pa?kontrolei:
a) 9216; b) 9215; c) 9025; d) 9310; e) 9212; f) 9118; g) 9016; h) 9021
Vai jus visu sapratat pareizi? Ja pielaujat kludu, atgriezieties, atrodiet, kur kludijaties, un labojiet atbildi. Ta ka ?i metode loti at?kiras no tradicionalajam pieejam skaitlu paru reizina?anai, nav parsteidzo?i, ka sakuma pielausit kludas.
Sacensiba ar kalkulatora atrumu
Es piedalos televizijas ?ovos, kur man biezi tiek lugts braukt ar kalkulatoru. Parasti tas notiek ?adi. Kamera aizveras uz rokas, kura fona atrodas kalkulators. Kads, kur? nav redzams kadra, rada problemu: piemeram, reiziniet 96 ar 97. Tiklidz tiek pateikts 96, es to uzreiz atnemu no 100 un sanemu 4. Kad tiek pateikts otrais skaitlis – 97 – es atnemu 4 no to un sanem 93. Es nesaku 93, bet saku «devini tuksto?i tris simti…» ar savu smuku australie?u akcentu un taja pa?a laika galva izrekinu: «4 reiz 3 ir 12.»
Ta gandriz bez pauzes beidzu: «Devini tuksto?i tris simti. divpadsmit». Lai gan es neuzskatu sevi par «cilveku kalkulatoru» – jo daudzi mani skoleni ir atraki par mani – , man joprojam nav problemu iegut atbildi, pirms kads cits to paspej dabut kalkulatora.
Tagad velreiz atrisiniet pedejo piemeru seriju, bet tagad veiciet visus aprekinus sava galva. Driz jus redzesit, ka tas ir vieglak, neka ?kiet. Es vienmer saviem studentiem saku: jums ir tris vai cetras reizes jaatrisina piemers galva, pirms tas klust patie?am viegli; pec tam katru nakamo reizi veiktais aprekins bus sikums, salidzinot ar pirmaja reize veikto aprekinu. Tapec izmeginiet to piecas reizes, pirms padodaties un sakat, ka tas jums ir parak gruti.
Vai jus neparsteidz tas, ko varat darit tagad? Jusu smadzenes neklust labakas vienas nakts laika: jus vienkar?i izmantojat tas efektivak, pateicoties vienkar?iem, bet sarezgitakiem matematikas aprekiniem.
2. nodala Atsauces numurs
Mes vel neesam pilniba izdomaju?i skaitlu reizina?anas metodi. Lidz ?im apskatitajam problemam metode darbojas nevainojami. Tagad, pec dazam izmainam, mes varam to piemerot jebkuriem skaitliem.
Numurs 10 ka atsauce
Atgriezisimies pie 7 x 8 piemera.
Cipars 10 pa kreisi no piemera ir atsauces numurs. ?is ir skaitlis, no kura mes atnemam faktorus.
Tatad, rakstisim atsauces numuru pa kreisi no piemera. Tagad pajautasim sev, vai skaitli, kurus mes reizinam, ir lielaki (lielaki) vai mazaki (mazaki) par atsauces skaitli? ?aja gadijuma reizinatajs abas reizes ir mazaks (mazaks) par atsauces skaitli. Tapec mes zimejam aplus zem faktoriem. Cik daudz faktoru ir mazaki par atsauces skaitli? Attiecigi par 3 un 2. Aplos ierakstiet 3 un 2. 7 ir vienads ar 10 minus 3, tapec apla priek?a ar skaitli 3 ievietojam minusa zimi. 8 ir 10 minus 2, kas nozime, ka apla ar skaitli 2 priek?a ievietojam minusa zimi.
Tagad atnemsim ?kersam. 7 minus 2 un 8 minus 3 dod 5. Mes rakstam 5 aiz vienadibas zimes. Tagad sareizinasim 5 ar atsauces skaitli 10. 5, reizinot ar 10, iegust 50, tapec aiz 5 rakstam 0. (Jebkuru skaitli reizinot ar 10, pietiek ar skaitli labaja puse pievienot nulli.) 50 ir musu starprezultats.
Tagad reizinasim skaitlus aplos. 3 reizes 2 dod 6. Pievienojiet rezultatu 50 un iegustiet galigo atbildi: 56.
Pilniba atrisinats piemers izskatas ?adi:
Numurs 100 ka atsauce
Kads bija atsauces numurs 96 x 97 piemeram 1. nodala? 100, jo mes ari aprekinajam, cik daudz 96 un 97 pietruka, lai iegutu 100. Pilniba atrisinatais piemers tagad izskatitos ?adi:
Manis iepriek? sniegtais garigas skaiti?anas triks vienkar?i liek jums izmantot ?o metodi. Sareizinasim 98 ar 98, un jus redzesiet, ko es domaju.
Mes atnemam 98 un 98 no 100 un iegustam 2 un 2. Atnemam 2 no 98 un iegustam 96. Bet mes nesakam «devindesmit se?i», bet «devini tuksto?i se?i simti». 9600 iegust, reizinot 96 ar paligskaitli 100. Tagad skaitlus reizinam aplos. 2 reizes 2 ir vienads ar 4, tapec galiga atbilde ir 9604.
Atrisiniet ?adus piemerus sava galva:
a) 96 x 96 = ___; b) 97 x 97 = ___; c) 99 x 99 = ___; d) 95 x 95 = ___; e) 97 x 98 = ___
Jums vajadzetu sanemt ?adas atbildes:
a) 9216; b) 9409; c) 9801; d) 9025; e) 9506
Iespejams, jau tagad varesit atri atrast atbildes uz ?adiem piemeriem. Noteikti esat pilniba apguvis ?o metodi attieciba uz skaitliem, kas mazaki par 10, apskauzama atruma risinot atbilsto?os piemerus. Piemeram, ja velaties aprekinat, cik daudz ir 9 x 9, jus uzreiz «redzesit» vienu zem katriem deviniem. 9 minus 1 dod 8 – un jus uzreiz sanemat 80 (reizinajums no 8 ar 10). 1 pret 1 dod 1. Tatad jusu atbilde ir 81.
Skaitlu reizina?ana no 10 lidz 20
Apskatisim, ka darbojas metode skaitlu reizina?anai no 10 lidz 20. Nemsim 13 x 14 ka piemeru, izmantojot 10 ka atsauces skaitli.
Gan 13, gan 14 ir lielaki (virs) atsauces skaitla 10, tapec mes zimejam aplus virs faktoriem. Cik tie ir vairak neka atsauces numurs? Attiecigi 3 un 4. Tapec mes rakstam 3 un 4 aplos virs 13 un 14. 13 ir vienads ar 10 plus 3, tapec skaitla 3 priek?a ievietojam plus zimi; 14 ir vienads ar 10 plus 4, tapec skaitla 4 priek?a ievietojam plus zimi.
Tapat ka iepriek?, salieciet to ?kersam. Gan 13 plus 4, gan 14 plus 3 ir vienadi ar 17. Aiz vienadibas zimes rakstam 17. Mes reizinam 17 ar atsauces skaitli 10 un iegustam 170 – tas ir musu starprezultats, mes to rakstam pec vienadibas zimes.
Ka pedejo soli mes reizinam skaitlus aplos. 3 reizes 4 ir vienads ar 12. Pievienojiet 12 lidz 170 un iegustiet atbildi: 182. ?adi izskatas pilniba atrisinats piemers:
Ja skaitlis, kuru mes reizinam, ir lielaks (lielaks) par atsauces skaitli, mes novietojam apli virs skaitla. Ja skaitlis ir mazaks (zem) no atsauces, zem skaitla novelkam apli.
Ja skaitli aplos ir lielaki par koeficientiem, mes saskaitam ?kersam, ja tie ir mazaki, tad atnemam ?kersam.
Tagad meginiet pats atrisinat ?adus piemerus:
a) 12 x 15 = ___; b) 13 x 15 = ___; c) 12 x 12 = ___; d) 13 x 13 = ___; e) 12 x 14 = ___; f) 12 x 16 = ___; g) 14 x 14 = ___; h) 15 x 15 = ___; i) 12 x 18 = ___; j) 16 x 14 = ___
Atbildes:
a) 180; b) 195; c) 144; d) 169; e) 168; f) 192; g) 196; h) 225; i) 216; j) 224
Ja kaut kur pielavat kludu, velreiz izlasiet sadalu un uzziniet, ko izdarijat nepareizi, pec tam meginiet velreiz atrisinat piemerus.
Ka jus reizinatu 12 un 21? Apskatisim ?o piemeru.
Ka atsauces skaitli nemam 10. Abi faktori ir lielaki par 10, tapec virs tiem zimejam aplus. 12 ir lielaks par 10 reizi 2 un 21 reizi 11, tapec mes ievadam 2 un 11 atbilsto?ajos aplos. 21 plus 2 ir vienads ar 23, kas, reizinot ar 10, ir 230. 2 reiz 11 ir 22, kas, pieskaitot 230, ir 252.
Pilniba atrisinatais piemers izskatas ?adi:
Skaitlu, kas ir lielaki par 100, reizina?ana
Vai ?o metodi var izmantot, lai reizinatu skaitlus, kas lielaki par 100? Protams.
Lai reizinatu 106 ar 104, izmantojiet 100 ka atsauces numuru.
Faktori ir lielaki par atsauces skaitli 100, tapec mes apzimejam aplus virs 106 un 104. Cik tie ir lielaki par 100? Par 6 un 4. Ierakstiet 6 un 4 aplos. Pirms tiem ir jabut plus zimei (tapat ka pirms pozitivajiem skaitliem), jo 106 ir 100 plus 6 un 104–100 plus 4.
Salieciet to ?kersam. 106 plus 4 ir vienads ar 110. Aiz vienadibas zimes ierakstisim 110.
Sareizinasim 110 ar atsauces skaitli 100. Ka jebkuru skaitli reizinat ar 100? Pievienojiet divas nulles labaja puse. Mes iegustam starprezultatu: 11000.
Tagad sareizinasim skaitlus aplos: 6 x 4 = 24. Pievienojiet rezultatu 11000 un iegustiet 11024.
Pilniba atrisinatais piemers izskatas ?adi:
Meginiet pats atrisinat dazus piemerus:
a) 102 x 114 = ___; b) 103 x 112 = ___; c) 112 x 112 = ___; d) 102 x 125 = ___
Atbildes:
a) 11628; b) 11536; c) 12544; d) 12750
Nedaudz praktizejot, jus varesiet atrisinat visus ?adus piemerus bez pildspalvas un papira. Tas bus loti iespaidigi citu cilveku acis.
Piemeru risina?ana galva
Izmantojot iepriek? mineto pieeju, loti svarigi ir tas, kas paradas jusu prata acis vai tas, ko jus sakat sev. Tas var palidzet atrisinat problemas vieglak un atrak.
Sareizinasim 16 ar 16 un tad redzesim, ko mes varetu sev pateikt.
Salieciet to ?kersam. 16 plus 6 (no otra koeficienta 16) ir vienads ar 22. Pec tam reiziniet ar 10 un iegustiet 220. 6 reizinats ar 6 ir 36. Vispirms pievienojiet 30 un pec tam 6. 220 plus 30 ir vienads ar 250, plus vel 6 – mes iegustam 256..
Mes varetu sev teikt: «Se?padsmit plus se?i, divdesmit divi, divi simti divdesmit. Trisdesmit se?i, divi simti piecdesmit se?i.» Kad esat apguvis prasmes, pusi no tam varat izlaist. Jums nebus jakomente burtiski katrs jusu spertais solis. Pietiks pateikt: «Divdesmit divi, divi simti piecdesmit se?i.»
Praktizejiet, ka jus runajat par risinajumu ar sevi. Aprekina laika pateikt tikai butisko, risinajuma laiks tiek samazinats vairak neka uz pusi.
Ka jus sava galva izskaitlojat 7x8? Jus uzreiz iztelojaties skaitlus 3 un 2 aplos zem 7 un 8. Pec tam no 7 atnemiet 2 (vai 3 no 8) un uzreiz pec reizina?anas ar 10 sakiet skali: «Piecdesmit». 3 reiz 2 ir vienads ar 6. Jus gandriz bez pauzes skali pateiksit: «Piecdesmit… se?i.»
Ka ar 6x7?
Jus uzreiz iztelojaties skaitlus 4 un 3 aplos zem 6 un 7. No 6 minus 3 veido 3, tapec sakat sev: «Trisdesmit». 4 pa 3 dod 12, plus 30–42. Jus vienkar?i sakat sev: «Trisdesmit, cetrdesmit divi.»
Nav loti gruti, vai ne? Jo vairak piemeru jus atrisinasiet pats, jo vieglak jums bus veikt ?os aprekinus.
Kad izmantot atsauces numuru?
Cilveki man jauta: «Kad jums vajadzetu izmantot atsauces numuru?» Iepriek?ejais piemers sniedz atbildi uz ?o jautajumu. Aprekinot galva reizinajumu 6 reiz 7, jus automatiski izmantojat atsauces numuru – 10. Jusu starprezultats ir 30. Jus sakat: «Trisdesmit». Tad jus aprekinat: 4 reiz 3 ir vienads ar 12. Jus nesakiet skali: «Trisdesmit divpadsmit». Jus zinat, ka jums ir japievieno 12 lidz 30, lai iegutu atbildi.
Atbilde ir vienkar?a: vienmer izmantojiet atsauces numuru.
Apgustot ?eit aprakstitas metodes, jus atklasiet, ka jus automatiski izmantojat atsauces numuru pat tad, ja aprekinu laika to vairs nepierakstat.
Metozu kombinacija
Apskatisim ?adu piemeru:
Tas var radit zinamas grutibas, ja mes nezinam, cik daudz ir 8 x 7. Mes varam uzzimet vel paris aplus zem pirmajiem, lai aprekinatu reizinajumu 8 x 7. Piemers tagad izskatas ?adi:
Atnemiet 8 no 93, atnemot 10 un pievienojot 2. 93 minus 10 ir vienads ar 83, plus 2 – mes iegustam 85. Reiziniet ar atsauces skaitli 100 un iegustiet starprezultatu: 8500. Lai reizinatu 8 ar 7, izmantojiet apak?ejo skaitlu rindu aplos, tas ir 2 un 3.
7 – 2 = 5 un 2 x 3 = 6
Atbilde ir 56. Piemera risinajums tagad izskatas ?adi:
Varat ari, piemeram, reizinat 86 ar 87.
Varat izmantot tikko iemacito metodi, lai reizinatu skaitlus no 10 lidz 20.
To visu var izdarit sava galva pec nelielas prakses.
Izmeginiet talak noraditos piemerus.
a) 92 x 92 = ___; b) 91 x 91 = ___; c) 91 x 92 = ___; d) 88 x 85 = ___; e) 86 x 86 = ___; e) 87 x 87 = ___
Atbildes:
a) 8464; b) 8281; c) 8372; d) 7480; e) 7396; e) 7569
?aja gramata aprakstito metozu izmanto?ana kopa paver patiesi neierobezotas skaitlo?anas iespejas. Eksperimentejiet pa?i.
3. nodala Skaitlu reizina?ana virs un zem atsauces numura
Lidz ?im mes esam reizinaju?i skaitlus, kas ir vai nu virs vai zem atsauces skaitla. Ka reizinat skaitlus, no kuriem viens atrodas virs atsauces, bet otrs zemak?
Apskatisim, ka rikoties, ka piemeru izmantojot produktu 96 x 135. Mes izmantosim 100 ka atsauces numuru:
98 ir mazaks par atsauces skaitli 100, tapec zem ta novelkam apli. Cik mazak? Ar 2 tas nozime, ka apli ierakstam skaitli 2. 135 ir lielaks par 100, tapec mes novelkam apli virs 135. Cik vel? Tapec pie 35 mes apli ievadam 35.
135 ir vienads ar 100 plus 35, tapec mes ievietojam plus zimi 35 priek?a. 98 ir 100 minus 2, kas nozime, ka mums ir jaievieto minus zime pirms 2 apli.
Tagad mes aprekinam ?kersam. Mes nemam vai nu 98 plus 35, vai 135 minus 2. 135 minus 2 ir vienads ar 133. Aiz vienadibas zimes ierakstiet 133. Tagad sareizinasim 133 ar atsauces skaitli 100. 133 ar 100 ir vienads ar 13300. (Lai reizinatu jebkuru skaitli ar 100, vienkar?i pievienojiet divas nulles pa labi no ta.) Piemera risinajums tagad izskatas ?adi:
Tagad reizinasim skaitlus aplos. 2 ar 35 dod 70. Tiesa, ta nav pilnigi taisniba. Faktiski mums ir jareizina 35 un minus 2. Atbilde attiecigi bus minus 70. Tagad piemera risinajums izskatas ?adi:
Atras atnem?anas metode
Panemsim pauzi no piemera risina?anas uz bridi un redzesim, kads ir isakais veids, ka atrast divu skaitlu starpibu. Kads ir vienkar?akais veids, ka no skaitla atnemt 70? Laujiet man uzdot jautajumu cita veida: kads ir vienkar?akais veids, ka garigi atnemt 9 no 56?
56 – 9 =
Esmu parliecinats, ka jus zinat pareizo atbildi, bet ka jus to ieguvat? Dazi cilveki vispirms atnem 6 no 56, lai iegutu 50, un pec tam no 9 atnem atliku?o 3, lai iegutu 47.
Dazi cilveki atnemtu 10 no 56 un iegutu 46. Tad vini pievienoja 1 atbildei, jo liekais tika nonemts (10 = 9 +1). Rezultats atkal butu 47.
Kads cits ?o problemu atrisinatu ar kolonnu uz papira. Taja pa?a laika vinam prata butu japarnes un jaienem kategorijas. Tas, iespejams, ir garakais risinajums. Neaizmirstiet, ka:
Vienkar?akais veids, ka atrisinat problemu, ir atrakais un kludigakais.
Lielakajai dalai cilveku vienkar?akais veids, ka no skaitla atnemt 9, ir vispirms atnemt 10 un pec tam pievienot 1. Vienkar?akais veids, ka atnemt 8, ir atnemt 10 un pec tam pievienot 2. Lai atnemtu 7, atnem 10 un pec tam pievieno 3. atbilde. ?eit ir vel dazi «vienkar?aki» veidi:
• Kads ir vienkar?akais veids, ka no skaitla atnemt 90? Atnemiet no ta 100 un pievienojiet 10.
• Kads ir vienkar?akais veids, ka no skaitla atnemt 80? Atnemiet no ta 100 un pievienojiet 20.
• Kads ir vienkar?akais veids, ka no skaitla atnemt 70? Atnemiet no ta 100 un pievienojiet 30.
Atgriezoties pie musu piemera, ka no 13 300 atnemt 70? Vispirms atnemiet 100 un pec tam pievienojiet 30. Vienkar?i, vai ne? Pameginasim velreiz. 13300 minus 100. 13200. Plus 30. 13230. ?adi izskatas pilniba atrisinatais piemers:
Nedaudz praktizejot, jus varesiet atrisinat lidzigus piemerus sava galva. Izmeginiet talak noraditos piemerus.
a) 98 x 145 = ___; b) 97 x 125 = ___; c) 95 x 120 = ___; d) 96 x 125 = ___; e) 98 x 146 = ___;
e) 9 x 15 = ___; g) 8 x 12 = ___; 3) 7 x 12 = ___
Atbildes:
a) 14210; b) 12125; c) 11400; d) 12000; e) 14308; f) 135; g) 96; h) 84
Skaitlu reizinajums aplos
Noteikums, saskana ar kuru tiek atrasts skaitlu reizinajums aplos, ir:
Ja abi apli atrodas virs vai zem faktoriem, tad to reizinajumu pievienojam starprezultatam. Kad viens no apliem atrodas virs faktoriem, bet otrs zem tiem, no starprezultata atnemam aplos eso?o skaitlu reizinajumu.
Matematiska izteiksme, reizinot divus pozitivus (plus) skaitlus, atbilde iegustam pozitivu (plus) skaitli. Reizinot divus negativus (minus) skaitlus, mes iegustam ari pozitivu (plus) skaitli. Reizinot pozitivu (plus) skaitli ar negativu (minusu), mes iegustam negativu (minus) skaitli.
Vai musu metode ir piemerojama produktam 8 x 45?
Meginasim parbaudit. Nemsim par atsauci skaitli 10. 8 ir par 2 mazaks par 10, bet 45 ir par 35 vairak.
No 45 atnem 2 vai pievieno 35 lidz 8. No 45 minus 2 iegust 43; reizinot ar atsauces skaitli 10, iegustam 430. Minus 2, reizinot ar 35, iegust 70. Lai no 430 atnemtu 70, vispirms atnemiet 100, kas iegust 330, un pievienojiet 30, iegustot 360.
Vai tas nozime, ka jums vispar nav jaapgust reizina?anas tabula? Ne, es tikai ierosinu citu veidu, ka to atcereties. Kad esat nostradajis desmit vai vairak reizes, ka 7 par 8 ir vienads ar 56 un 13 virs 14 ir vienads ar 182, jums tas vairs nebus jadara: atbilde paliks jusu atmina. Tas ir daudz produktivaks veids neka vienkar?a pieblive?ana.
Mes joprojam neesam pabeigu?i ar reizina?anu, bet panemsim partraukumu un pavadisim laiku, lai nostiprinatu to, ko esam iemaciju?ies lidz ?im. Ja dazu uzdevumu risina?ana jums joprojam ir sarezgita, neuztraucieties: mums ir vel daudz piemeru.
Nakamaja nodala mes apskatisim vienkar?u metodi sanemto atbilzu parbaudei.
4. nodala Atbilzu parbaude: pirma dala
Vai velaties pareizi atrisinat katru uzdevumu jebkura skolas parbaudijuma? Vai velaties iegut tadas personas reputaciju, kas nekad nekludas aprekinos? Ja ta, es iemaci?u jums pamanit un izlabot kludu, pirms kads pamanis jusu kludu.
Es saviem skoleniem biezi saku, ka matematika nepietiek ar atbildes izdoma?anu; problema nav atrisinata, kamer neesat parbaudijis sanemto atbildi.
Es neizstradaju atbilzu parbaudes metodi, ko grasos jums piedavat. Matematiki par to ir zinaju?i, iespejams, tuksto? gadus, bet fakts ir tads, ka vairuma valstu tas nez kapec nebija ieklauts skolu programma.
Berniba es loti daudz kludijos aprekinos tiri aiz neuzmanibas. Es zinaju, ka risinat problemas un dariju visu pareizi. Bet atbilde joprojam izradijas nepareiza. Es vai nu aizmirsu parnest pakapi, vai ari neuzmanibas del pierakstiju nepareizus skaitlus, un Dievs zina, kadel es pielavu kaitino?as kludas.
Skolotaji un vecaki man pastavigi atgadinaja, ka man vienmer ir japarbauda savi lemumi. Bet vienigais veids, ka es zinu, ka to izdarit, ir velreiz atrisinat problemu. Tomer, ja atbilde bija at?kiriga, ka es varu zinat, kura gadijuma ta ir pareiza? Varbut es pirmo reizi problemu atrisinaju pareizi, bet, risinot velreiz, kludijos? Tapec mums problema bija jaatrisina tre?o reizi. Ja divas no trim atbildem saskaneja, tad, ka es argumenteju, ?i, iespejams, bija pareiza atbilde. Ko darit, ja es vienkar?i pielautu vienu un to pa?u kludu divas reizes? Man ieteica problemu atrisinat divos dazados veidos. ?is bija labs padoms. Tomer testos nevienam netiek dots laiks vienu un to pa?u problemu atrisinat tris reizes. Ja kads taja laika man butu iemacijis to, ko es jums maci?u, es dro?i vien butu pazistams ka matematikas genijs.
Mani kaitina, ka ?i metode tolaik bija zinama, bet neviens man to neiemacija. To sauc par skaitla ciparu saskaiti?anu vai devitnieku izme?anu. Talak ir noradits, ka tas darbojas.
Aizvieto?anas numuri
Lai parbauditu, vai atbilde ir pareiza, mes izmantojam aizsta?anas skaitlus, nevis tos, kas izmantoti piemera. Futbola vai basketbola komandas aizstajeji spele speletaju aizsta?anai. Lidzigi darisim ar cipariem, piemeklejot tiem piemerotus «rezerves». Pedejais palidzes mums parbaudit, vai esam nonaku?i pie pareizas atbildes ar galvenajiem uzdevuma skaitliem.
Apskatisim to ar piemeru. Pienemsim, ka jus tikko sareizinajat ar 13 un 14 un ieguvat 182. Jums japarbauda, vai ?i ir pareiza atbilde.
13 x 14 = 182
Vispirms mums ir skaitlis 13. Atradisim ta ciparu summu un iegustam pirmo aizsta?anu:
1 +3 = 4
4 klust par aizstajejzimi 13.
Nakamais skaitlis ir 14. Atradisim ari tam aizstajeju, kuram saskaitam ta skaitlus:
1 +4 = 5
5 kalpo ka 14 aizsta?ana.
Tagad veiksim reizina?anu, izmantojot aizstajejus, nevis sakotnejos skaitlus:
4 x 5 = 20
20 atkal ir divciparu skaitlis, tapec pievienosim ta ciparus un iegusim musu kontrolnumuru, kas palidzes noteikt atbildes pareizibu:
2 +0 = 2
2 ir kontroles skaitlis, ko izmanto, lai noteiktu atbildes pareizibu.
Ja originalo piemeru atrisinajam pareizi, tad atbildes ciparu summai jasakrit ar kontrolskaitli.
Mes saskaitam sanemtas sakotnejas atbildes skaitlus:
1 +8 +2 = 11
11 ir divciparu skaitlis, bet mums ir nepiecie?ams viencipara skaitlis, tapec pievienosim ta ciparus:
1 +1 = 2
2 ir ari aizsta?anas numurs, bet ?oreiz tiek parbaudita atbilde. Ta ka tas sakrita ar ceka numuru, piemers tika atrisinats pareizi.
Meginasim velreiz, nemot produktu 13 x 15:
13 x 15 = 195
1 +3 = 4 (aizstat 13)
1 +5 = 6 (aizstat 15)
4 x 6 = 24
24 ir divciparu skaitlis; Lai iegutu neparprotamu skaitli, saskaitisim ta skaitlus:
2 +4 = 6
6 ir musu kontroles numurs.
Tagad, lai parbauditu, vai piemeru atrisinajam pareizi, saskaitisim sanemtas sakotnejas atbildes skaitlus.
1 +9 +5 = 15
Parversisim 15 par viencipara skaitli:
1 +5 = 6
Ta ka ?i atbilde sakrit ar kontroles numuru, mes varam but parliecinati, ka mes neesam kludiju?ies, risinot sakotnejo piemeru.
Devinnieku izme?ana
Ir metode, kas lauj vel vairak samazinat ?is proceduras laiku. Ikreiz, kad parbaudes laika savos aprekinos sastopam skaitli 9, varam to dro?i izsvitrot. Iepriek? sanemtas atbildes gadijuma – 195 – ta vieta, lai atrastu summu 1 +9 +5, mes varetu vienkar?i izsvitrot 9 un pievienot tikai 1 +5, kas kopa iegutu 6. Tas neietekme rezultatu. jebkada veida, bet tas lauj izvairities no lieka darba un ietaupit laiku. Man vienmer patik ?adas lietas.
Ka ir ar atbildi uz pirmo atrisinato piemeru – 182?
Mes pievienojam 1 +2 +8, lai iegutu 11, un pec tam pievienojam 1 +1, lai iegutu kontrolskaitli 2. 182. gada divi cipari tiek summeti 9: 1 un 8. Vienkar?i izsvitrojiet tos, un rezultats ir nepiecie?amais skaitlis 2. Un jums nekas nav jadara.
Atrisinasim vel vienu piemeru, lai redzetu, ka ?i metode darbojas:
167 x 346 = 57782
1 +6 +7 = 14
1 +4 = 5
Ar pirmo numuru nebija nekadas viltibas. 5 ir 167 aizsta?ana.
3 +4 +6 =
Mes uzreiz pamanam, ka 3 +6 = 9, tapec mes izsvitrojam 3 un 6 ta, it ka tie nekad nebutu biju?i. Atliek 4, kas ir skaitla 346 aizsta?ana.
Vai musu parbaudamaja atbildes piemera ir devini vai skaitli, kas kopa veido 9? Ja, ir: 7 +2 = 9, tapec mes ?os skaitlus izsvitrojam. Mes saskaitam parejos: 5 +7 +8 = 20. Tad 2 +0 = 2. ?is ir skaitlis, kas kalpo ka atbildes aizsta?ana.
Parasti aizsta?anas skaitlus rakstu ar zimuli virs vai zem piemera faktoriem. Tas varetu izskatities ?adi:
Tatad, vai sanemta atbilde bija pareiza?
Reizinam aizvieto?anas skaitlus: 5 ar 4 iegust 20. Skaitli 20 eso?o ciparu summa ir 2 (2 +0 = 2). Mes sanemam skaitli, kas vienads ar kontroles numuru, tapec atbilde ir pareiza.
Apskatisim citu piemeru:
456 x 831 = 368936
Rakstisim aizsta?anas skaitlus zem faktoriem:
Tas nebija gruti, jo no pirma reizinataja izsvitrojam 4 un 5, un mums palika 6; tad no otra faktora izsvitrojam 8 un 1, atstajot mums 3; un tad atbilde izdevas izsvitrot gandriz visus ciparus.
Tagad redzesim, ko mums dod aizsta?anas skaitli. 6 reiz 3 ir vienads ar 18, kuru cipari kopa ir 9, kurus var ari izsvitrot. Tas atstaj 0. Musu kontroles skaitlis ir 8. Tas nozime, ka mes kaut kur pielavam kludu.
Atkartoti atrisinot piemeru, mes iegustam 378936.
Vai ?oreiz sanemam pareizo atbildi? 936 var izsvitrot, pec tam saskaitam pirmos tris ciparus: 3 +7 +8 = 18, kas saskaita 9, kas ari atstaj 0, tapec to var izmest. Ir sakritiba ar kontrolnumuru, kas nozime, ka ?oreiz atbilde sanemta pareizi.
Vai devitnieku izme?anas metode pierada, ka mums ir pareiza atbilde? Ne, bet mes varam but gandriz dro?i, ka atbilde ir pareiza (skat. 16. nodalu). Piemeram, pienemsim, ka pedeja piemera atbilde mes sanemam 3789360, ta beigas kludaini pievienojot papildu nulli. Tas neatspogulosies ceka, metot devitniekus, un mes nevaresim noteikt, vai ir pielauta kluda. Tomer gadijumos, kad metodes izmanto?ana norada uz kludu, mes varam but pilnigi parliecinati, ka ta ir.
Devinnieku ripina?ana ir vienkar?s un atrs tests, kas lauj viegli pamanit kludas. Varat but parliecinats, ka metode palidzes atrisinat matematikas parbaudes darbus bez kludam.
Ka ?i metode darbojas?
Padomajiet par skaitli un reiziniet to ar 9. Cik ir 4 reiz 9? 36. Saskaitisim ?i skaitla ciparus (3 +6), un rezultats bus 9.
Meginasim ar citu numuru. 3 reizes 9 ir vienads ar 27. Saskaitiet skaitlus (2 +7) un atkal iegustam 9.
11 reizes 9 ir 99. 9 plus 9 ir 18. Nepareiza atbilde? Ne tik atri. 18 ir divciparu skaitlis, tapec saskaitisim skaitlus velreiz: 1 +8. Atkal atbilde ir 9.
Ja jebkuru skaitli reizinat ar 9, ieguta skaitla summa vienmer bus 9, ja turpinasiet pievienot ciparus, lidz iegustat viencipara skaitli. Tas ir vienkar?s veids, ka noskaidrot, vai skaitlis dalas ar 9 bez atlikuma.
Ja skaitla cipariem saskaita 9 vai ta daudzkartni, tad pats skaitlis bez atlikuma dalas ar 9. Tie?i tapec, ja jebkuru skaitli reizina ar 9 vai ta daudzkartni, skaitla cipari kas ieguts reizina?anas rezultata, jasaskaita 9 (lidz iegustat viencipara skaitli). Piemeram, jums ir japarbauda, vai talak noraditais piemers ir pareizi atrisinats:
135 x 83615 = 11288025
Saskaitisim pirma faktora skaitlus:
1 +3 +5 = 9
Lai parbauditu atbildi, mums nav japievieno otra faktora (83615) cipari, jo mes zinam, ka skaitla 135 ciparu summa ir 9. Ja atbilde ir pareiza, ari ta cipariem ir jasaskaita. lidz 9.
Atradisim atbildes ciparu summu:
1 +1 +2 +8 +8 +0 +2 +5 =
Divreiz var izsvitrot 8 +1, atstajot 2 +2 +5, kas dod 9. Tatad, parbaude paradija, ka atbilde ir pareiza.
Var atklat ari citas interesantas lietas.
Ja skaitla cipariem tiek pievienots cits skaitlis, nevis 9, tad tas ir atlikums, ko iegustat, dalot sakotnejo skaitli ar 9.
Nemsim, piemeram, 14. 1 plus 4 dod 5. Tatad 5 ir skaitlu 14 summa. Tas ir atlikums, ko iegustat, ja dalat 14 ar 9. Parbaudisim: 14 tiek dalits ar 9 vienreiz, un atlikums ir 14–9, kas veido 5. Ja skaitlim pievienojat 3, tad, dalot ?o skaitli ar 9, atlikumam pievieno 3. Ja skaitli dubultojat, atlikums atkal dubultojas. Citiem vardiem sakot, neatkarigi no ta, ko jus darat ar skaitli, jus to darat ar atlikumu, dalitu ar 9, tapec ?ie atlikumi var kalpot ka aizsta?anas skaitli.
Kapec mes izmantojam atlikumus, dalitus ar 9? Vai nav iespejams izmantot atlikumus no dali?anas, piemeram, ar 17? Protams, jus varat, bet dalit ar 17 ir tik sarezgits, ka parbaudit, vai jusu atbilde ir pareiza, galu gala bus grutak neka pats uzdevums. Mes izvelamies skaitli 9, jo ir vienkar?s veids, ka noteikt atlikumu, dalot ar to.
Vairak par to, kapec ?i metode darbojas, uzzinasiet E pielikuma.
5. nodala Reizina?ana: otra dala
1. nodala mes uzzinajam, ka reizinat skaitlus, izmantojot vienkar?u metodi, kas padara to par vieglu. To ir viegli izmantot, ja faktori ir skaitli, kas ir aptuveni 10 vai 100. Ka ir ar skaitlu reizina?anu ar 30 vai 60? Vai ir iespejams izmantot musu petito metodi ari viniem? Neap?aubami.
Mes izvelejamies 10 un 100 ka atsauces skaitlus, jo tos ir viegli reizinat. Metode lieliski darbosies ar citiem atsauces numuriem, tacu jums vajadzetu meginat izveleties tos, ar kuriem ir viegli reizinat.
Reizina?ana ar faktoriem
To ir viegli reizinat ar 20, jo 20 ir vienads ar 2 x 10, ko ir loti viegli reizinat ar. Mes runajam par reizina?anu ar koeficientiem, un 10 un 2 ir skaitla 20 koeficienti.
10 x 2 = 20
Apskatisim piemeru:
23 x 24 =
23 un 24 ir lielaki par atsauces skaitli 20, tapec par faktoriem apvelkam aplus. Vairak, bet par cik? Attiecigi 3 un 4. Mes ievadam ?os skaitlus atbilsto?ajos aplos, kurus mes uzzimejam aug?puse, jo mes runajam par pozitiviem skaitliem (23 = 20 +3, 24 = 20 +4).
Salieciet to ?kersam, ka iepriek?:
23 +4 = 27 vai 24 +3 = 27
Tagad sareizinasim sanemto atbildi ar atsauces numuru 20. Lai to izdaritu, vispirms reiziniet ar 2 un pec tam ar 10:
27 x 2 = 54
54 x 10 = 540
(Velak ?aja nodala apskatisim vienkar?u veidu, ka reizinat 27 ar 2.) Citadi viss ir vienads. Mes reizinam skaitlus aplos un starprezultatam pievienojam 540.
3 x 4 = 12
540 +12 = 552
Pilniba atrisinats piemers izskatas ?adi:
Atbilzu parbaude
Pielietosim to, ko uzzinajam 4. nodala, lai parbauditu, vai esam sanemu?i pareizo atbildi:
Aizsta?anas skaitli 23 un 24 ir attiecigi 5 un 6.
5 x 6 = 30
3 +0 = 3
3 ir musu kontroles numurs.
Sakotnejas atbildes skaitli (552) ir 3:
5 +5 +2 = 12
1 +2 = 3
Iegutais skaitlis ir vienads ar kontroles skaitli, kas nozime, ka mes sanemam pareizo atbildi.
Meginasim atrisinat vel vienu piemeru:
23 x 31 =
Mes rakstam 3 un 11 aplos virs 23 un 31, jo musu faktori ir attiecigi par 3 un 11 lielaki par atsauces skaitli 20.
Saskaitot ?kersam, mes iegustam 34:
31 +3 = 34 vai 23 +11 = 34
Mes reizinim ieguto atbildi ar atsauces skaitli 20. Lai to izdaritu, vispirms reiziniet 34 ar 2 un rezultatu ar 10.
34 x 2 = 68
68 x 10 = 680
?i ir musu pagaidu atbilde. Tagad mes reizinam skaitlus aplos:
3 x 11 = 33
Pievienosim 33 ar 680:
680 +33 = 713
Pilniba atrisinatais piemers izskatas ?adi:
Atbildi parbaudam, izmetot devitniekus.
Sareizinasim aizsta?anas skaitlus un pec tam summesim atbildes ciparus:
Tas atbilst musu kontroles numuram, tapec 713 var uzskatit par pareizo atbildi.
?eit ir dazi piemeri, kas jums tiek piedavati jusu pa?a lemuma pienem?anai. Kad esat pabeidzis, parbaudiet savas atbildes, metot devitniekus.
a) 21 x 26 = ___; b) 24 x 24 = ___; c) 23 x 23 = ___; d) 23 x 27 = ___; e) 21 x 36 = ___; e) 26 x 24 = ___
Jums vajadzetu but iespejai atrisinat ?os piemerus sava galva. Tas nav gruti ar nelielu praksi.
Skaitlus, kas mazaki par 20, reizinot
Ka ir ar skaitlu reizina?anu, kas ir mazaki par 20? Ja tie (vai vismaz viens no tiem) ir lielaks par 15, bet mazaks par 20, ka atsauces numuru varat izmantot 20. Atrisinasim piemeru:
Izmantojot 20 ka atsauces numuru, mes iegustam:
Atnemt ?kersam:
16 – 1 = 15 vai 19 – 4 = 15
Reiziniet ar 20:
15 x 2 = 30
30 x 10 = 300
300 ir musu starpposma atbilde.
Tagad sareizinasim aplos eso?os skaitlus un pievienosim rezultatu starpatbildei:
1 x 4 = 4
300 +4 = 304
Pilniba atrisinats piemers izskatas ?adi:
Meginasim atrisinat to pa?u piemeru, ?oreiz izmantojot 10 ka atsauces numuru:
Saskaitisim ?kersam un pec tam reizinim rezultatu ar 10, iegustot starpatbildi:
19 +6 = 25
10 x 25 = 250
Sareizinasim skaitlus aplos un rezultatu pievienosim starpatbildei:
9 x 6 = 54
250 +54 = 304
Pilniba atrisinatais piemers izskatas ?adi:
Tas apstiprina iepriek? ieguto rezultatu.
Nav lielas at?kiribas starp diviem izmantotajiem atsauces numuriem. Tas ir personigas izveles jautajums. Vienkar?i izvelieties atsauces numuru, ar kuru jums ir vieglak stradat.
Skaitli, kas ir lielaki un mazaki par 20
Tre?ais gadijums ir, kad viens skaitlis ir lielaks, bet otrs ir mazaks par 20. Piemeram:
Varat pievienot 18 un 12 vai atnemt 2 no 32 un pec tam rezultatu reizinat ar atsauces skaitli:
32 – 2 = 30
30 x 20 = 600
Tagad mes reizinam skaitlus aplos:
2 x 12 = 24
Mes faktiski reizinam minus 2 un 12, tapec atbilde ir -24.
600–24 = 576
Risinajuma piemers izskatas ?adi:
(Lai atnemtu 24, vispirms atnemiet 30 un pec tam pievienojiet 6.)
Parbaudisim atbildi, izmetot devitniekus:
Produkts 0 x 5 ir 0, tatad atbilde ir pareiza.
Reizinot vel lielakus skaitlus
Iepriek?eja sadala mes runajam par skaitlu paru reizina?anas metodi lidz 30 x 30. Ko darit, ja jums ir jareizina vel lielaka izmera skaitli? ?aja gadijuma ka atsauces skaitli varat izmantot 50. Reizinat ar to ir vienkar?i, jo 50 ir puse no 100 vai 100 dalits ar 2. Tatad, lai reizinatu ar 50, vispirms var reizinat skaitli ar 100 un pec tam dalit rezultatu. ar 2.
Izmeginasim to ar piemeru:
Atnemt ?kersam:
46 – 2 = 44 vai 48 – 4 = 44
Reiziniet 44 ar 100:
44 x 100 = 4400
Mes sakam sev ?adi: «44 uz 100 ir vienads ar 4400.» Tagad mes nemam pusi, kas ir lidzvertiga 44 reizina?anai ar 50, un mes iegustam 2200.
4400: 2 = 2200
Tagad sareizinasim skaitlus aplos un saskaitisim rezultatu ar 2200:
Kas var but vienkar?aks? Apskatisim citu piemeru:
Mes saskaitam ?kersam, pec tam reiziniet rezultatu ar atsauces skaitli (reiziniet ar 100 un pec tam dalam ar 2):
57 +3 = 60
60 x 100 = 6000
6000: 2 = 3000
Reiziniet skaitlus aplos un pievienojiet rezultatu 3000:
3 x 7 = 21
3000 +21 = 3021
Pilniba atrisinatais piemers tagad izskatas ?adi:
Atrisinasim ?adu piemeru:
Mes saskaitam ?kersam un reizinim rezultatu ar atsauces skaitli (vispirms reiziniet ar 100 un pec tam daliet rezultatu ar 2):
63 +2 = 65
65 x 100 = 6500
Tagad mums ir jadala ar 2.
Nekadu problemu! Mes sakam sev: «Puse no se?iem tuksto?iem ir tris tuksto?i. Puse no piecsimt ir divi simti piecdesmit. Kopa ir tris tuksto?i divi simti piecdesmit.
Tagad reizinasim skaitlus aplos:
2 x 13 = 26
Pievienojot 26 starprezultatam 3250, mes iegustam 3276. Pilniba atrisinatais piemers tagad izskatas ?adi:
Parbaudisim atbildes pareizibu, izmetot devitniekus:
6 plus 3 koeficienta 63 ir vienads ar 9, kas ir izsvitrots, atstajot aiz 0.
Atbilde ir 3 +6 = 9 un 2 +7 = 9, tas ir, visi skaitli ir izsvitroti. 7 reizes 0 ir vienads ar 0, tapec atbilde ir pareiza.
Es piedavaju vairakus piemerus jusu risinajumam. Centieties sava galva atrisinat pec iespejas vairak piemeru.
a) 46 x 42 = ___; b) 47 x 49 = ___; c) 46 x 47 = ___; d) 44 x 44 = ___; e) 51 x 55 = ___; e) 54 x 56 = ___; g) 51 x 68 = ___; h) 51 x 72 = ___
Atbildes:
a) 1932. gads; b) 2303; c) 2162; d) 1936. gads; e) 2805; f) 3024; g) 3468; h) 3672
Ka jus tikat gala ar uzdevumu? Ja iepriek? esi pietiekami trenejies, tev nevajadzetu rasties problemam to risina?ana sava galva. Parbaudiet savas atbildes, izvelkot devinus.
Divkar?o?ana un samazina?ana uz pusi
Lai ka atsauces skaitlus izmantotu 20 un 50, jums ir jaspej viegli dubultot un samazinat skaitlus uz pusi.
Reizem, kad, piemeram, mums ir jadala uz pusem divciparu skaitlis, kura desmitnieku skaitlis ir nepara, atbilde pati par sevi neliecina. Piemeram:
78: 2 =
Lai uz pusi samazinatu 78, varat dalit 70 ar 2, pec tam 8 un pec tam pievienot rezultatus. Bet ir vel vienkar?aks veids.
78 = 80—2. Puse no 80 – 2 ir vienada ar 40 – 1. ?i ir atbilde:
40 – 1 = 39
Lai dubultotu 38, garigi iedomajieties ?o skaitli ka 40 – 2. Divkar?ot vertibu, ta bus 80 – 4, tas ir, 76.
Meginiet pats atrisinat ?adus piemerus:
a) 38 x 2 = ___; b) 29 x 2 = ___; c) 59 x 2 = ___; d) 68 x 2 = ___; e) 39 x 2 = ___; e) 47 x 2 =
Atbildes:
a) 76; b) 58; c) 118; d) 136; e) 78; e) 94
Tagad atrisiniet ?os piemerus:
a) 38: 2 = ___; b) 56: 2 = ___; c) 78: 2 = ___; d) 94: 2 = ___; e) 34: 2 = ___; e) 58: 2 = ___; g) 18: 2 = ___; h) 76: 2 = ___
Atbildes:
a) 19; b) 28; c) 39; d) 47; e) 17; f) 29; g) 9 h) 38
To pa?u pieeju var izmantot, lai reizinatu un dalitu diezgan lielus skaitlus ar 3 un 4. Piemeram:
19 x 3 = (20 – 1) x 3 = 60 – 3 = 57
38 x 4 = (40 – 2) x 4 = 160 – 8 = 152
Numuri 200 un 500 ka atsauces numuri
Ja reizinatie skaitli ir tuvu 200 vai 500, aprekini nav ipa?i sarezgiti, jo gan 200, gan 500 ir viegli izmantot ka atsauces skaitlus.
Ka, piemeram, atrodam produktu 216 x 216? Ja ka atsauci izmantojat 200, piemeru var viegli atrisinat, tostarp jusu galva:
Mes aprekinam 16 x 16, izmantojot 10 ka atsauces skaitli.
Ka ar 512x512?
512 x 500 ir vienads ar 524 x 1000 dalits ar 2.
524 x 1000 = 524 000 jeb 524 tukst.
Puse no 524 tuksto?iem ir vienada ar 262 tuksto?iem.
Lai 524 tuksto?us sadalitu uz pusem, tos var sadalit uz 500 tuksto?iem un 24 tuksto?iem. Pusi no abiem skaitliem ir viegli aprekinat galva. Puse no 500 tuksto?iem ir vienada ar 250 tuksto?iem. Puse no 24 tuksto?iem ir vienada ar 12 tuksto?iem. 250 tuksto?i plus 12 tuksto?i dod 262 tuksto?us.
Tagad reizinasim skaitlus aplos:
12 x 12 = 144
262000 +144 = 262144 ATBILDE
Mazaku skaitlu reizina?ana
Meginasim atrast produktu 6 x 4:
Ka atsauces skaitli izmantojam 10. Zem faktoriem ievelkam aplus, jo gan 6, gan 4 ir mazaki par 10. Atnem ?kersam:
6–6 = 0 vai 4–4 = 0
Tagad reizinasim skaitlus aplos:
4 x 6 =
Mes esam atgriezu?ies pie sakotnejas problemas (6 x 4). ?kiet, ka metode mums nekadi nepalidzeja. Vai ir iespejams panakt, lai tas darbotos ari ?ados gadijumos? Tas ir iespejams, tacu ?im nolukam ir jaizmanto cits atsauces numurs. Meginasim pienemt skaitli 5 ka tadu. 5 ir 10 dalits ar 2, vai puse no 10. Visvieglak reizinat ar 5 var, reizinot ar 10 un rezultatu dalot ar 2.
6 ir lielaks par 5, tapec mes tam uzzimejam apli. 4 ir mazaks par 5, tapec aplis tam tiek novilkts zemak. 6 ir vairak neka 5 reizes 1, tapat ka 4 ir mazaks par 5 reizi 1, tapec katra apli ierakstam 1.
Pievienojiet 4 un 1 ?kersam vai atnemiet 1 no 6:
6–1 = 5 vai 4 +1 = 5
Mes reizinam 5 ar atsauces numuru, kas ari ir 5.
Lai to izdaritu, mes vispirms reizinam ar 10, kas dod mums 50, un pec tam rezultatu sadalam ar 2, iegustot 25. Tagad mes reizinam skaitlus aplos:
1 x -1 = -1
Ta ka rezultats ir negativs skaitlis, mes to atnemam no starpatbildes, nevis pievienojam tai:
25 – 1 = 24
Tadejadi:
Tas ir loti gar? un apgrutino?s nelielu skaitlu reizina?anas veids, tacu tas parada, ka ar nelielu atjautibu metodi var panakt, lai ta darbotos visos gadijumos. Turklat ?adas pieejas palidz attistit sanu doma?anas speju, kas ir loti svariga matematikim un vispar jebkuram cilvekam, ja vin? velas gut panakumus dzive.
Apskatisim vel vienu piemeru, pat ja jus labi zinat reizina?anas tabulu:
Atnemt ?kersam:
4—1 = 3
Sareizinasim rezultatu ar atsauces numuru:
3 x 10 = 30
30: 2 = 15
Tagad reizinasim skaitlus aplos:
1 x 1 = 1
Pievienosim ?o rezultatu starpatbildei:
15 +1 = 16
Tadejadi:
Meginiet pats atrisinat ?adus piemerus:
a) 3 x 4 = __; b) 3 x 3 = __; c) 6 x 6 = __; d) 3 x 6 = __; e) 3 x 7 = __; e) 4 x 7 = __
Atbildes:
a) 12; b) 9; c) 36; d) 18; e) 21; e) 28
Esmu parliecinats, ka ?o piemeru risina?ana jums nesagadaja ne mazako problemu. Es nedomaju, ka tas ir labakais veids, ka apgut reizina?anas tabulas maziem skaitliem. Manuprat, visvieglak ir to iemacities. Bet dazi cilveki velas uzzinat, ka reizinat mazus skaitlus, izmantojot ?o metodi, lai parbauditu tas daudzpusibu. Citiem tas var patikt, jo vini bus parliecinati, ka pat tad, ja vini aizmirst savas laika tabulas, ir vienkar?s veids, ka aprekinat nepiecie?amo produktu. Turklat, pat ja jus zinat savas reizina?anas tabulas no galvas, dazreiz var but noderigi un jautri spelet ?adas speles un eksperimentet ar skaitliem.
Reiziniet ar 5
Ka redzejam, lai reizinatu ar 5, vispirms var reizinat ar 10 un pec tam rezultatu dalit uz pusi. 5 ir vienads ar pusi no 10. Lai reizinatu 6 ar 5, varat reizinat 6 ar 10, kas dod 60, un pec tam rezultatu dalit uz pusem, iegustot 30.
Izmeginiet to pats:
a) 8 x 5 = __; b) 4 x 5 = __; c) 2 x 5 = __; d) 6 x 5 = __
Atbildes:
a) 40; b) 20; pulksten 10; d) 30
Bet ko darit, ja desmitnieku skaits ir nepara. Reiziniet 7 ar 5:
7 x 10 = 70
Ja jums ir gruti uzreiz sadalit 70 uz pusem, iedomajieties to ka summu: 60 +10. Tas puse ir 30 +5, kas ir 35.
Apskatisim citu piemeru:
9 x 5 =
9 reiz 10 ir vienads ar 90. 90 var uzrakstit ka 80 +10. Puse no 80 +10 ir 40 +5, tatad atbilde ir 45. Atrisiniet pa?i:
a) 3 x 5 = __; b) 5 x 5 = __; c) 9 x 5 = __; d) 7 x 5 = __;
Atbildes:
a) 15; b) 25; c) 45; d) 35
?is ir vienkar?s veids, ka uzzinat skaitla 5 laika tabulas. Tas darbojas, ja skaitli tiek reizinati ar 5. Piemeram:
14 x 5 =
14 x 10 = 140, un 140 dalits ar 2, iegust 70.
Tapat:
23 x 5 =
23 x 10 = 230
230 = 220 +10
Puse no 220 +10 ir 110 +5
110 +5 = 115
Visus ?os aprekinus pec nelielas prakses var izdarit daudz atrak sava galva.
6. nodala Decimalskaitlu reizinajums
Cipari sastav no cipariem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 un 9. Cipari ir ka burti, kurus mes izmantojam vardu veido?anai. 23 ir divciparu skaitlis, kas sastav no cipariem 2 un 3. Cipara atra?anas vieta cipara nosaka ?im ciparam atbilsto?o ciparu. Piemeram, skaitlis 2 cipara 23 atbilst desmitvietai un nozime 2 desmitniekus, bet cipars 3 atbilst vienibu vietai un nozime 3 vienibas. 435 ir trisciparu skaitlis. Skaitlis 4 atbilst simtu vietai un apzime 4 simtus jeb 400. Skaitlis 3 atbilst desmitnieku skaitam un apzime 3 desmitniekus jeb 30. Skaitlis 5 atbilst vienibu skaitam un apzime 5 vienibas vai vienkar?i 5. Kad mes rakstam skaitli, secibai, kada uz ta atrodas cipari, nav maza nozime.
Kad mes rakstam cenu vai skaitli, kas apzime naudas daudzumu, mes izmantojam komatu, lai atdalitu dolarus no centiem. Piemeram, 1,25 ASV dolari nozime 1 dolaru un 25 dolara simtdalas (25 centus). Pirmais cipars aiz komata apzime dolara desmitdalas (10 10 centu monetas ir vienadas ar 1 USD). Otrais cipars aiz komata apzime dolara simtdalas (100 centi ir vienads ar 1 USD).
Decimaldalu reizina?ana [2] (https://flibusta.is/b/770213/read) nav sarezgitaka darbiba par jebkuru citu skaitlu reizina?anu. Apskatisim piemerus.
Piemeram:
1,3 x 1,4 =
(1,3 – viens punkts un tris desmitdalas; 1,4 – viens punkts un cetras desmitdalas.)
Mes rakstam piemeru tadu, kads tas ir, bet nepiever? uzmanibu komatiem:
Lai gan mes rakstijam 1,3 x 1,4, mes atrisinasim piemeru ta, it ka tas izskatitos ?adi:
13 x 14 =
Aizmirstiet par komatu un sakiet sev: «Trispadsmit plus cetri ir septinpadsmit, reizinats ar desmit, simts septindesmit. Cetras reiz tris ir divpadsmit. plus simts septindesmit. simts astondesmit divi».
Risinajuma piemers izskatas ?adi:
Tacu musu velamais produkts bija 1,3 x 1,4, un lidz ?im esam aprekinaju?i tikai 13 x 14. Piemers nav pilniba atrisinats. Mums ir jaizdoma, kur iegutaja atbilde ievietot komatu. Lai to izdaritu, apskatisim faktorus un saskaitisim ciparu skaitu aiz komata. Aiz komata ir divi cipari: 3 1.3 un 4 1.4. Ta ka mums faktoros kopa ir divi cipari aiz komata, ari atbilde ir jabut diviem cipariem aiz komata. Saskaitiet divus skaitlus no beigam un ievietojiet komatu starp skaitliem 1 un 8.
1.82 ATBILDE
Vienkar?s veids, ka parbaudit ieguto atbildi, ir novertet to ar tuvinajumu. Tas nozime, ka ta vieta, lai izmantotu sakotnejos skaitlus (1,3 un 1,4), mes tos noapalosim attiecigi lidz 1 un 1,5. reizinajums 1 x 1,5 dod 1,5. Tatad atbildei, ko mes meklejam, ir jabut kaut kur starp 1 un 2, nevis, piemeram, 20 vai 200. Tas lauj mums zinat, ka esam izveleju?ies pareizo decimaldalu.
Meginasim atrisinat ?o piemeru:
9,6 x 97 =
Uzrakstisim problemu ta, ka ta ir noradita, bet pienemsim, ka runa ir par skaitliem 96 un 97.
Kur likt komatu? Cik zimju aiz komata ir piemeru faktoros? Viens. Atbilde ir jabut tadam pa?am ciparu skaitam pec komata.
931.2 ATBILDE
Lai noteiktu, kur likt decimalzimi, mums ir jasaskaita kopejais ciparu skaits aiz komata abiem skaitliem, kurus mes reizinam. Neaizmirstiet parliecinaties, ka atbilde ir noradits vienads ciparzimju skaits aiz komata. Mes varam parbaudit atbildi, reizinot 10 (noapalota vertiba 9,6) ar 90 (noapalota vertiba 97), kas dod 900. Tagad mes zinam, ka atbildei ir jabut kaut kur ap skaitli 900. nevis 9000 vai 90..
Ja mes reizinatu ar 9,6 un 9,7, atbilde butu 93,12. ?is fakts var palidzet mums atrast veidus, ka vel vairak vienkar?ot aprekinus, kas citadi nebutu tik acimredzami. Drizuma aplukosim ?is iespejas. Tagad meginiet pats atrisinat ?adus piemerus:
a) 1,3 x 1,3 = __; b) 1,4 x 1,4 = __; c) 14 x 0,14 = __; d) 96 x 0,97 = __; e) 0,96 x 9,6 = __; e) 13 x 1,5 = __
Atbildes:
a) 1,69; b) 1,96; c) 1,96; d) 93,12; e) 9,216; e) 19.5
Pienemsim, ka jums bija jaatrisina ?ads piemers:
0,13 x 0,14 =
Atceresimies to:
13 x 14 = 182
Kur jaliek komats? Cik zimju aiz komata ir abiem faktoriem? Cetri: skaitli 1 un 3 pirmaja faktora un skaitli 1 un 4 otraja. Tapec atbilde ir jaskaita cetri cipari, sakot no beigam. Mums bus japievieno viens cipars, jo mums ir trisciparu atbilde (182). Tapec mes saskaitam tris ciparus un pievienojam 0.
Musu atbilde tagad izskatas ?adi:
0,0182 ATBILDE
Pirms komata ir jaievieto ari 0, jo pirms ta vienmer ir jabut vismaz vienam ciparam. Musu gadijuma mes pievienojam 0 ka ceturto ciparu pec komata un ari ievietojam 0 pirms komata.
Apskatisim vel vienu piemeru, lai nostiprinatu to, ko esam iemaciju?ies:
0,014 x 1,4 =
14 x 14 = 196
Kur jabut komatam? Reizinatajiem kopuma ir cetri cipari aiz komata, proti: 0, 1 un 4 pirmajam reizinatajam un 4 otrajam. Tapec atbilde ir jabut cetriem cipariem aiz komata. Ta ka atbilde ir tikai tris cipari, mes pievienojam 0 ka ceturto zimi aiz komata.
Atbilde ir:
0,0196 ATBILDE
Atrisiniet ?adus piemerus pats:
a) 23 x 2,4 = __; b) 0,48 x 4,8 = __; c) 0,048 x 0,48 = __; d) 0,0023 x 0,23 = __
Viegli, vai ne?
?eit ir atbildes uz kontroli:
a) 55.2; b) 2,304; c) 0,02304; d) 0,000529
Zinot ?o vienkar?o principu, mes varesim atrisinat dazas problemas, kas var ?kist sarezgitas, ja tam pielietosim apguto metodi. Pec dazam problemas nosacijumu izmainam risinajumu var ieverojami vienkar?ot. Apskatisim piemeru:
8 x 68 =
Kads atsauces numurs ir jaizmanto ?aja gadijuma? Varetu izmantot 10 ka atsauci koeficientam 8, bet 68 labak izmantot 100, jo skaitli ir tuvak viens otram. Varbut pamegini 50? Tomer musu metode darbojas labak, ja skaitli ir tuvu viens otram. Ka ?aja gadijuma atrisinat problemu? Kapec nerakstit 8.0, nevis 8?
Nav at?kiribas starp 8 un 8.0. Pirmais cipars (8) nozime, ka mums ir 8 vienibas, bet otrais (8,0) nozime, ka mums ir 8 vienibas lidz vienai zimei aiz komata. Tacu ?i zime, budama nulle, neko ne pieskaita, ne neatnem no visas dalas (8).
Tatad mes sanemam:
Tagad problemu var viegli atrisinat. Atnemt ?kersam:
68–20 = 48
Mes reizinam 48 ar atsauces numuru 100 un iegustam 4800. Reiziniet skaitlus aplos.
20 x 32 = 640
(Lai reizinatu ar 20, vispirms reiziniet ar 2 un pec tam ar 10, jo 2 x 10 = 20.)
4800 +640 = 5440
Tadejadi:
Tagad jums ir pareizi jaievieto decimalzime. Cik ciparu aiz komata ir uzdevuma formulejuma faktoros? Viens, nulle, ko pa?i pievienojam. Tadejadi atbilde mes saskaitam vienu ciparu no labas puses.
544.0 ATBILDE
Mes parasti rakstam lidzigu skaitli bez nulles aiz komata, tas ir, 544.
Meginiet pats atrisinat ?adus piemerus:
a) 9 x 83 = __; b) 9 x 67 = __; c) 9 x 77 = __; d) 8 x 86 = __; e) 7 x 89 = __
?eit ir atbildes uz kontroli:
a) 747; b) 603; c) 693; d) 688; e) 623
Piemeru risina?ana nebija gruta, vai ne?
Ar nelielu izteli jus varat izmantot ?is pieejas, lai atrisinatu jebkuru reizina?anas problemu.
7. nodala Reizina?ana ar diviem atsauces skaitliem
Musu reizina?anas metode lieliski darbojas skaitliem, kuru lielums loti neat?kiras. Preteja gadijuma metode ari darbojas, tacu aprekini bus apgrutino?aki. Piemeram, ko darit, ja mes veletos aprekinat, cik daudz ir 13 x 64? Kuru atsauces numuru mums vajadzetu izveleties? ?aja nodala apskatisim vienkar?u metodi, kas lauj ieverot vienu un to pa?u strategiju, bet izmantojot divus atsauces numurus.
Varat reizinat divus skaitlus, kuru lielums ir loti at?kirigs, izmantojot divus atsauces numurus. Vispirms iedzilinasimies lietas butiba, un tad es jums paradi?u, ka ?i metode darbojas. Ka piemeru nemsim produktu 8 x 27. 8 ir tuvak 10, tapec mes izmantojam 10 ka pirmo atsauces numuru. 27 ir tuvak 30, tapec
30 bus musu otrais atsauces numurs. No ?iem skaitliem izvelieties to, ar kuru ir visvieglak reizinat. Ta ka to ir loti viegli reizinat ar 10, mes to izvelesimies. Tas bus musu galvenais atsauces numurs. Otrajam atsauces numuram ir jabut galvena numura reizinajumam. Musu izveletais skaitlis ir bazes daudzkartnis, kas ir tris reizes lielaks par skaitli (30: 10 = 3). Ta vieta, lai zimetu apli, es ierakstu divus atsauces numurus iekavas pa kreisi no piemera nosacijuma.
Primarais atsauces numurs ir 10. Otrais atsauces numurs ir 30 jeb 3 x 10. Atsauces numurus rakstam iekavas ka otro skaitli, kas izteikts ka pirmais, tas ir:
(10 x 3) 8 x 27 =
Abi piemera minetie faktori ir mazaki par to atsauces skaitliem, tapec zem faktoriem apzimejam aplus. Zem skaitla 8, kura atsauces numurs ir 10, novelciet vel vienu apli.
Par cik 8 un 27 ir mazaki par to atsauces skaitliem (atcerieties, ka 3 apzime 30)? Par 2 un 3. Ierakstiet 2 un 3 aplos.
Tagad reiziniet 2, kas atrodas zem koeficienta 8, ar koeficientu 3 iekavas.
2 x 3 = 6
Zem 2 zemakaja apli ierakstisim 6. Tagad no 27 atnemiet skaitli, kas atrodas ?kersam zemakaja apli:
27 – 6 = 21
Reiziniet 21 ar bazes atsauces numuru 10:
21 x 10 = 210
210 ir musu starpposma atbilde. Lai iegutu atliku?o dalu, mes reizinam aug?ejos aplos eso?os skaitlus (2 un 3), kas mums iegust 6. Pievienojiet 6 ar 210 un iegustiet galigo atbildi: 216.
Atrisinasim citu piemeru:
9 x 48 =
Kadus atsauces numurus mums vajadzetu izveleties? 10 un 50. Rakstisim piemeru jauna veida:
(10 x 5) 9 x 48 =
Abi faktori ir mazaki par to atsauces skaitliem, tapec mes novietojam aplus apak?a. Cik tie ir mazaki par to atsauces numuriem? 1 un 2. Ievadiet 1 un 2 aplos:
Tagad reizinasim 1 zem 9 ar koeficientu 5, kas ir iekavas.
1 x 5 = 5
Mes rakstam 5 zemakaja apli zem 1. Musu piemera risinajums tagad izskatas ?adi:
Atnemiet 5 no 48:
48 – 5 = 43
Aiz vienadibas zimes rakstisim 43. Sareizinasim 43 ar atsauces skaitli 10 (lai to izdaritu, mes vienkar?i pievienojam 0 labaja puse ar 43), kas dos atbildi.
43 x 10 = 430
Ka pedejo soli reiziniet skaitlus divos aug?ejos aplos:
1 x 2 = 2
Pievienosim 2 starpatbildei 430:
430 +2 = 432
Pilniba atrisinatais piemers tagad izskatas ?adi:
Vienkar?i, vai ne? Vieniga grutiba, kas jums var rasties, ir atcereties, kam vajadzetu but nakamajam solim.
Ja reizinataji ir lielaki par atsauces skaitliem, mes rikojamies ?adi. Ka piemeru nemsim produktu 13 x 42:
Galvenais atsauces numurs ir 10. Otrais, ko mes panemam, ir 40 jeb 10 x 4. Mes cen?amies atlasit atsauces skaitlus ta, lai tie butu mazaki vai lielaki par skaitliem, kas tiek reizinati. Abi faktori ?aja piemera ir lielaki par attiecigajiem atsauces skaitliem, tapec aug?puse mes uzzimejam aplus. Koeficients 13 atbilst bazes atsauces skaitlim 10, tapec virs ?i faktora mes novelkam divus aplus. Cik daudz vairak neka jusu atsauces numuri 13 un 42? Uz 3 un 2. Mes ievadam 3 un 2 apak?ejos aplos. Reiziniet 3 apli virs koeficienta 13 ar 4 iekavas.
3 x 4 = 12
Mes rakstam 12 aug?eja apli virs 13. Tagad salieciet to ?kersam.
42 +12 = 54
54 un atsauces numura 10 reizinajums dod 540. ?i ir musu starpposma atbilde. Tagad reizinasim skaitlus apak?ejos aplos.
3 x 2 = 6
Pievienojiet 6 pret 540, lai iegutu galigo atbildi: 546. ?adi izskatas pilniba atrisinats piemers:
Primarajam atsauces numuram nav jabut 10. Lai atrastu reizinajumu 23 x 87, ir lietderigak izmantot 20 ka primaro atsauces numuru un 80 (20 x 4) ka otro atsauces numuru.
Pastiprinasim to, ko esam iemaciju?ies, izmantojot piemeru:
(20 x 4) 23 x 87 =
Abi piemera minetie faktori ir lielaki par to atsauces skaitliem (20 un 80), tapec aug?puse zimejam aplus. Cik vel? Uz 3 un 7. Mes ievadam 3 un 7 atbilsto?ajos aplos.
Mes reizinam 3, kas parsniedz koeficientu 23, ar 4 iekavas.
3 x 4 = 12
Mes ievadam 12 aug?eja apli, virs 3. Jusu paveiktais darbs izskatas ?adi:
Tagad pievienosim 12 un 87.
87 +12 = 99
Reiziniet 99 ar bazes atsauces numuru 20:
99 x 20 = 1980. gads
(Vispirms mes reizinam 99 ar 2, un rezultats ir 10. 99 ir 100 minus 1. 2 reizinot ar 100 minus 1, iegust 200 minus 2, kas ir vienads ar 198. Tagad reiziniet 198 ar 10 un iegustiet reizinajuma atbildi 99 x 20.)
Tagad reizinasim skaitlus apak?ejos aplos.
3 x 7 = 21
1980 +21 = 2001
Piemera galigais risinajums izskatas ?adi:
Es piedavaju tris piemerus jusu risinajumam:
a) 14 x 61 = __; b) 96 x 389 = __; c) 8 x 136 = __
Lai aprekinatu reizinajumu 8 x 136, izmantojiet skaitlus 10 un 140 (10 x 14) ka atsauces numurus.
Atbildes:
a) 854; b) 37344; c) 1088
Atrisinasim piemerus b) un c) kopa:
b) 96 x 389 =
Mes izmantosim 100 un 400 ka atsauces numurus:
Reiziniet 4 apli zem koeficienta 96 ar 4 iekavas:
4 x 4 = 16
Mes ievadam 16 apak?eja apli zem 4. Risinajums lidz ?im izskatas ?adi:
Atnemiet 16 no 389 un iegustiet 373. Pec tam reiziniet 373 ar bazes atsauces numuru 100, iegustot 37300.
Tagad sareizinasim 4 un 11 aplos, iegustot 44. Summa 44 un 37300 dod 37344.
Pilniba atrisinats piemers izskatas ?adi:
Tagad meginasim atrisinat piemeru c):
8 x 136 =
Nemsim 10 un 140 (10 x 14) ka atsauces numurus:
Sareizinasim 2 zem koeficienta 8 ar skaitli 14, kas ir iekavas:
2 x 14 = 28
Mes rakstam 28 apak?eja apli zem 2. Tagad no 136 atnemiet 28 (vispirms atnemiet 30 un pec tam vel 2) un iegustam 108. Tagad reiziniet 108 ar galveno atsauces skaitli 10, iegustot atbildi 1080. Lidz ?im paveiktais darbs izskatas ?adi:
Tagad reizinasim skaitlus 2 un 4 aplos.
2 x 4 = 8
Pievienojiet 8 pret 1080 un iegustiet galigo atbildi: 1088.
Atsauces skaitli, kas izteikti ka viens skaitlis dalits ar citu
Lai reizinatu 96 ar 47, mes varetu izmantot 50 vai 100 ka atsauces skaitlus: 50 x 2 vai 100:2. ?aja gadijuma 100:2 butu labak, jo 100 tad klutu par primaro atsauces numuru. Vienkar?ak ir reizinat ar 100 neka ar 50. Ludzu, nemiet vera, ka, rakstot risinajuma piemeru, labak vispirms noradit koeficientu, kas attiecas uz galveno atsauces numuru.
Tatad, kersimies pie risinajuma:
96 x 47 =
Nemsim 100 un 50 ka atsauces skaitlus:
Sadaliet skaitli 4, kas atrodas apli zem faktora 96, ar dalitaju 2 iekavas:
4: 2 = 2
Ieguto atbildi 2 ierakstisim cita apli zem 96.
Tagad no 47 atnemiet 2 un reiziniet atbildi (45) ar galveno atsauces numuru (100). Rezultata mes iegustam 4500:
Pec tam reiziniet pirmos divus ciparus aplos (-4 x – 3 = 12) un pievienojiet rezultatu 4500. Rezultata mes iegustam 4512:
Ja jums vajadzetu reizinat 96 un 23, jus varetu izmantot 100 ka primaro atsauci un 25 (100:4) ka otro atsauci. Tas izskatitos ?adi:
96 ir 4 mazaks par 100, un 23 ir 2 mazaks neka 25. Tagad dalisim 4 zem 96 ar 4 iekavas. 4 dalits ar 4, iegust 1. Ierakstisim ?o skaitli cita apli zem 96:
Atnemiet 1 no 23, lai iegutu 22. Reiziniet 22 ar bazes atsauces skaitli 100, lai iegutu 2200.
Sareizinasim skaitlus divos aug?ejos aplos.
4 x 2 = 8
Pievienojiet 8 uz 2200 un iegustiet galigo atbildi: 2208.
Ko darit, ja mums vajadzetu reizinat ar 97 un 23? Vai musu strategija ir piemerojama ?aja gadijuma? Pameginasim:
3 dalits ar
ir
. Atnemiet
no 23 (jums ir jaatnem 1
1/4) :
23 –
= 22
Viena ceturtdala ka decimaldala tiek rakstita ka 0,25 (
100 ir 25). Tadejadi:
22
x
= 2225
Sareizinasim skaitlus aplos.
Tadejadi musu metode ?ados gadijumos darbojas vienlidz labi.
Ka ar 88x343? Var izmantot ka atsauces numurus 100 un 350.
Lai atrastu reizinajumu ar 3
12, reiziniet 12 ar 3 un pec tam pievienojiet atbildei pusi no 12, kas ir 6. Iegusiet 42.
343–42 = 301
301 x 100 (galvenais atsauces numurs) = 30100
12 x 7 = 84
30100 +84 = 30184
Kapec ?i metode darbojas?
Es nesnieg?u detalizetu skaidrojumu, bet megina?u to paradit ar piemeru. Apsveriet produktu 8 x 17.
Mes varetu dubultot 8, lai iegutu 16, pec tam reizinat 16 ar 17 un nemt pusi atbildes, kas butu pareiza sakotnejai problemai. Tas ir diezgan tals cel? ejams, tacu tas parada, kapec divu atsauces numuru metode darbojas. Mes izmantosim 20 ka atsauces numuru.
Atnemiet 4 no 17 un iegustiet 13. Reizinot 13 ar atsauces skaitli 20, atbilde ir 260. Tagad reiziniet skaitlus aplos:
4 x 3 = 12
Starpatbildei 260 pievienojot 12, mes iegustam gala rezultatu: 272. Bet mes reizinajam ar 16, nevis 8, tapec mes faktiski dubultojam atbildi. 272 dalits ar 2 sniedz mums atbildi uz piemeru 8 x 17, proti, 136.
Puse no 272 ir 136. Tadejadi:
8 x 17 = 136
Tapec mes dubultojam koeficientu pa?a sakuma un pec tam uz pusi samazinajam atbildi pa?as beigas. ?is divas darbibas izsledz viena otru. ?aja gadijuma jus varat atbrivoties no ieverojamas aprekinu dalas. Apskatisim, ka ?aja gadijuma darbojas divu atsauces numuru metode:
Nemiet vera, ka otraja risinajuma mes atnemam 4 no 17; Mes darijam to pa?u, kad to atrisinajam, izmantojot pirmo metodi. Rezultats bija 13, ko mes pec tam reizinajam ar 10. Atrisinot pirmo veidu, mes dubultojam 13, pec tam to reizinam ar 10, un beigas atbildi samazinajam uz pusi. Risinot ar otro metodi, sareizinajam skaitlus aplos (2 un 3), kas deva atbildi 6, tas ir, pusi no 12, kas ieguti, risinot ar pirmo metodi.
Var izmantot jebkuru atsauces numuru kombinaciju. Visparigie noteikumi ir:
• Pirmkart, atsauces skaitlu lomai ir jaizvelas tie, ar kuriem ir viegli reizinat, tas ir, 10, 20, 50 utt.
• Otrajam atsauces numuram ir jabut galvena daudzkartnim, tas ir, dubultajam, triskar?ajam, cetrkar?ajam utt.
Eksperimentejiet ar piedavatajiem risinajumiem pats. Vienmer ir iespeja kaut ka vienkar?ot matematiskos aprekinus. Un katru reizi, kad izmantojat ?is metodes, jus uzlabojat savas matematikas prasmes.
8. nodala Papildinajums
Lielaka dala no mums uzskata, ka saskaiti?ana ir vieglaka darbiba neka atnem?ana. ?aja nodala mes uzzinasim, ka padarit pievieno?anu vel vienkar?aku.
Ka jus sava galva pievienotu 43 un 9?
Vienkar?akais veids butu vispirms pievienot 10, lai iegutu 53, un pec tam atnemt 1. Atbilde ir 52.
Jebkuram skaitlim ir viegli pievienot 10: 36 plus 10 ir vienads ar 46; 34 plus 10 ir vienads ar 44 utt. Vienkar?i palieliniet desmitnieku skaitli par 1 ikreiz, kad skaitlim tiek pievienots 10 (sikaku informaciju skatiet 6. nodala).
Pamatnoteikums papildinajumu veik?anai galva ir:
Lai skaitlim pievienotu 9, pievienojiet tam 10 un atnemiet 1; lai pievienotu 8, pievienotu 10 un atnemtu 2; lai pievienotu 7, pievienotu 10 un atnemtu 3 utt.
Ja skaitlim japievieno 47, pievienojiet tam 50 un atnemiet 3. Lai pievienotu 196, pievienojiet 200 un atnemiet 4. Tas palidz saglabat skaitlus prata. Lai skaitlim pievienotu 38, pievienojiet 40 un pec tam atnemiet 2. Lai skaitlim pievienotu 288, pievienojiet 300 un pec tam no rezultata atnemiet 12.
Meginiet papildinat sava galva. Saki atbildi skali. 34 +9 nesaki: «Cetrdesmit cetri, cetrdesmit tris.» Veiciet korekciju par vienu, jau izrunajot atbildi, lai jus vienkar?i iegutu: «Cetrdesmit tris». Meginiet atrisinat talak sniegtos piemerus. Par diviem no tiem ir sniegts majiens.
Atbildes:
a) 64; b) 47; c) 85; d) 74; e) 55; e) 33
Divciparu skaitlu pievieno?ana galva
Ka jus pievienotu 38 skaitlim? Lai pievienotu 38, vispirms skaitlim japievieno 40 un pec tam no iegutas summas jaatnem 2.
Ka ar 57? Pievienojiet 60 un atnemiet 3.
Ka pievienot 86? Pievienojiet 100 un atnemiet 14.
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «Литрес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию (https://www.litres.ru/chitat-onlayn/?art=70524130) на Литрес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.